1. 第十三次作业考什么从s域到z域的连续闭环信号与系统分析春季课程进行到第十三次作业时拉普拉斯变换和系统函数基本讲完了计算量也一下子上来。很多同学到这一周会有明显的感觉前面傅里叶变换还能靠“背变换对算积分”撑过去到了这里却要求你同时理解极点、收敛域、稳定性、零状态响应还要在连续系统和离散系统之间来回切换。第十三次作业参考答案覆盖的五类高频题型——s域求零状态响应、Routh稳定性判据、零极点图反推系统函数、z变换解差分方程、状态转移矩阵的s域算法正好把一学期最核心的计算方法拧成了一股绳。这份内容适合正在做第十三次作业、需要核对过程的人也适合期末前想快速把“系统分析”框架理一遍的同学。我按作业的题目顺序把每一步的推导、配参、检查方法都写了出来。和普通答案不一样的是我会解释每个关键步骤为什么要这么做以及哪些地方最容易算错。你如果只是想要一个最终结果看每道题的末尾结论就行如果想在考试前把方法真正用熟建议跟着推导过一遍尤其是第2题和第5题这两类题在期末卷面上出现频率极高。1.1 这周的题为什么突然变“重”了从傅里叶变换进入拉普拉斯变换本质上是从“频域视角”升级到“复频域视角”。傅里叶变换看的是信号在实频率轴上的分布而拉普拉斯变换把分析范围拓展到整个复平面多出了两个非常有用的维度一是极点它直接决定系统的自然响应形态二是收敛域它决定了同一个代数表达式对应的是因果、反因果还是双边信号。很多同学分数上不去不是公式不会背而是没有适应这种“从代数结果反推时域行为”的思维方式。第十三次作业放在这个时间点作用就是强制你把前面积累的时域卷积、频域响应、系统稳定性等知识整合起来。比如第一题表面上是算一个拉普拉斯逆变换实际上包含了系统函数乘输入、部分分式展开、配方法、初值终值定理五个环节第四题虽然是离散系统但解题逻辑和第一题几乎完全平行。这种交叉感正是这门课的真正难点。1.2 解题前先备好这几张工具表做第十三次作业之前我建议你先在草稿纸上默写一遍基础拉普拉斯变换对。不是翻书抄而是合上笔记自己写。下面这张表是这道作业的“最低配置”时域信号拉普拉斯变换备注(u(t))(\frac{1}{s})注意收敛域为 (\mathrm{Re}(s)0)(e^{-at}u(t))(\frac{1}{sa})一阶实极点(t^n e^{-at}u(t))(\frac{n!}{(sa)^{n1}})重极点会用到(\cos(\omega t)u(t))(\frac{s}{s^2\omega^2})共轭虚极点(\sin(\omega t)u(t))(\frac{\omega}{s^2\omega^2})与cos对偶(e^{-at}\cos(\omega t)u(t))(\frac{sa}{(sa)^2\omega^2})共轭复极点的核心模板(e^{-at}\sin(\omega t)u(t))(\frac{\omega}{(sa)^2\omega^2})配方法的目标形式还要记住两条定理初值定理 (y(0^)\lim_{s\to\infty}sY(s))终值定理 (y(\infty)\lim_{s\to0}sY(s))。这两条在后面验证答案时会反复用到。z变换部分也要准备好几个标准模板尤其是 (\frac{1-az^{-1}\cos\theta}{1-2az^{-1}\cos\thetaa^2z^{-2}}) 对应 (a^n\cos(n\theta)u[n])(\frac{az^{-1}\sin\theta}{1-2az^{-1}\cos\thetaa^2z^{-2}}) 对应 (a^n\sin(n\theta)u[n])。第四题的答案就藏在两个模板的线性组合里。2. 第一题s域求零状态响应的完整推导2.1 题型识别与初始条件处理考虑一道非常典型的题已知系统函数 (H(s)\frac{s3}{s^22s5})输入信号 (f(t)e^{-2t}u(t))求系统的零状态响应 (y(t))。先做题型判断。所谓零状态响应就是系统初始储能为零只由外部输入引起的响应。这种情况下s域的运算极其简单(Y(s)H(s)F(s))。你不用考虑零输入响应也不需要在时域做卷积因为拉普拉斯变换已经帮你把卷积变成了乘法。这里最容易犯的第一个错误是忘记输入信号的 (u(t))。(f(t)e^{-2t}) 和 (f(t)e^{-2t}u(t)) 在复频域完全不同前者在 (t0) 时仍存在已经不是因果信号还牵扯到双边拉普拉斯变换后者才有明确的单边变换 (F(s)\frac{1}{s2})。作业题里只要写 (u(t))就是明确告诉你这是一个从 (0^-) 开始作用的因果信号可以直接用单边拉普拉斯变换处理。2.2 部分分式展开怎么配才顺把系统函数和输入变换相乘得到[ Y(s)\frac{s3}{(s^22s5)(s2)} ]这里需要处理两个问题分子是一次多项式分母是一个二阶实系数多项式和一个一阶实系数多项式。最稳的做法是设[ Y(s)\frac{A}{s2}\frac{BsC}{s^22s5} ]先求 (A)。用“遮盖法”令 (s-2)把 (s2) 这个因子遮掉[ A\frac{s3}{s^22s5}\Big|_{s-2}\frac{1}{4-45}\frac{1}{5} ]然后通分比较系数。右边第一项通分后写成 (\frac{1}{5}(s^22s5))第二项是 ((BsC)(s2))。对比 s 的同次幂系数[ s^2:\quad B\frac{1}{5}0 \Rightarrow B-\frac{1}{5} ] [ s:\quad \frac{2}{5}2BC1 \Rightarrow C1 ]于是[ Y(s)\frac{1/5}{s2}\frac{-s/51}{s^22s5} ]接下来是配方法的关键。分母 (s^22s5(s1)^24)所以所有涉及它的项都要以 (s1) 为基准重写。把 (-s/51) 改造成 (-\frac{1}{5}(s1)\frac{6}{5})为什么能这样改因为 (-\frac{1}{5}(s1)-\frac{1}{5}s-\frac{1}{5})加上 (\frac{6}{5}) 正好等于 (-\frac{1}{5}s1)。这样拆完第二项就变成[ \frac{-\frac{1}{5}(s1)}{(s1)^24}\frac{\frac{6}{5}}{(s1)^24} ]按照前面表格里的两个标准模板第一项对应 (e^{-t}\cos(2t)u(t))第二项对应 (\frac{6/5}{2}e^{-t}\sin(2t)u(t)\frac{3}{5}e^{-t}\sin(2t)u(t))。最终[ y(t)\left[\frac{1}{5}e^{-2t}-\frac{1}{5}e^{-t}\cos(2t)\frac{3}{5}e^{-t}\sin(2t)\right]u(t) ]2.3 写完答案后用初终值定理快速自查很多同学算出结果后不知道对不对只能靠看答案。其实有两个非常快的验证手段。先用初值定理算 (y(0^))。根据公式[ y(0^)\lim_{s\to\infty}sY(s)\lim_{s\to\infty}\frac{s(s3)}{(s^22s5)(s2)} ]分母是三次方量级分子是二次方量级极限为 0。把时域答案代进去(t0) 时三项分别是 (1/5)、(-1/5)、(0)相加正好为 0两个结果一致。再用终值定理算 (y(\infty))。因为 (Y(s)) 的极点都在左半平面极限存在[ y(\infty)\lim_{s\to0}sY(s)0 ]时域答案里三项都含有 (e^{-2t}) 或 (e^{-t})当 (t\to\infty) 时均衰减到 0同样一致。如果初值或终值对不上一定是部分分式系数或配方法出了问题不用等老师批改自己就能定位。3. 第二题Routh判据与稳定性判断的真实用法3.1 标准稳定系统的Routh表全套第二题如果考连续系统稳定性最典型的形式是给你一个特征多项式让你判断系统是否稳定。比如 (D(s)s^43s^35s^24s2)。Routh-Hurwitz判据的做法是列一张表把所有系数按奇偶次幂分开。前两行直接抄系数[ \begin{array}{c|cc} s^4 1 5 2\ s^3 3 4 0\ \end{array} ]第三行 (s^2) 行由前两行计算[ \frac{3\times5-1\times4}{3}\frac{11}{3},\quad \frac{3\times2-1\times0}{3}2 ]第四行 (s^1) 行[ \frac{(11/3)\times4-3\times2}{11/3}\frac{44/3-6}{11/3}\frac{26}{11} ]第五行 (s^0) 行直接写 (2)。首列系数为 (1,3,11/3,26/11,2)全部大于零没有符号变化所以系统稳定。列Routh表时有一个细节如果某行第一个元素是零不能直接写0继续计算因为下一步会出现除以零。正解是用一个很小的正数 (\varepsilon) 代替0或者把整行乘以一个正数化简后再算。这属于判据的使用规范考试时很容易在这里被扣步骤分。3.2 出现全零行临界稳定怎么收尾有些同学一看到全零行就慌了其实全零行并不是算错了而是特征方程存在关于原点对称的根最常见的就是共轭虚根。比如 (D(s)s^32s^23s6)Routh表写两行之后就出现 (s^1) 行全为零。遇到这种情况要用上一行 (s^2) 行构造辅助多项式 (P(s)s^23)然后对 (s) 求导得到 (2s)用 (2s) 替代全零行的第一个元素继续计算。辅助多项式的根就是系统的一对极点(s\pm j\sqrt{3})。因此系统处于临界稳定状态会给出一组等幅振荡的自然响应。这一步的结论要写完整不可以说“系统稳定”或“系统不稳定”只能说临界稳定并且要说明原因是在虚轴上有一对共轭极点。作业里如果只写不稳定等于把“虚轴边界情形”这个概念丢掉了很不值。3.3 稳定性结论要落到“极点位置”上Routh判据只是工具最终判断稳定性的本质是看极点位置。连续系统BIBO稳定的充要条件是所有极点都位于s平面的左半开平面也就是实部都小于0只要有一个极点在虚轴上系统就是临界稳定只要有极点实部大于0就不稳定。这里我想强调一个容易混淆的点很多同学会把连续系统的稳定性结论直接搬到离散系统里这是第4题最容易犯的错误。离散系统的稳定要求所有极点位于z平面单位圆内部也就是 (|z_k|1)。判断时用z域的Jury判据或直接看极点的模而不是看实部正负。把这两件事分开作业和考试都会轻松很多。4. 第三题从零极点图反推系统函数4.1 读图的顺序零点、极点、增益系数第三题通常是给你一个零极点图让你写出系统函数并求冲激响应。这类题考察的是从图形语言到代数表达式的逆向能力。比如图上有一个零点在 (z-2)两个极点在 (s-1\pm j2)则系统函数的基本骨架是[ H(s)\frac{K(s2)}{s^22s5} ]注意这里我用 (K) 表示增益系数。零极点图能看出零点和极点的位置但看不出增益必须要额外给一个条件。最常见的条件就是给出系统在某一点的响应值比如已知直流增益 (H(0)2.4)那么[ H(0)\frac{K\cdot2}{5}2.4 \Rightarrow K6 ]于是系统函数确定为[ H(s)\frac{6(s2)}{s^22s5} ]这类题目的失分点几乎都在增益上。有些同学拿到图就直接写分子分母完全忘掉 (K)或者有了 (K) 却代错点。建议每次写系统函数前都用 (H(s)K\frac{\prod(s-z_i)}{\prod(s-p_j)}) 这个形式占位最后再根据条件求 (K)。4.2 收敛域决定因果性与稳定性零极点图以外题目还会给你收敛域。收敛域不是可有可无的信息它和极点位置共同决定系统是否因果、是否稳定。如果本题给出的收敛域是 (\mathrm{Re}(s)-1)两个极点都在收敛域左边系统就是因果的又因为两个极点都在左半平面系统同时是稳定的。同样一个代数表达式 (H(s)\frac{6(s2)}{s^22s5})如果收敛域改成 (-1\mathrm{Re}(s)-1) 这种带域对应的就是一个双边信号系统不再是因果系统物理可实现性也变了。作业卷面上经常有人只写表达式不写收敛域这在信号与系统里等于答案没写完整因为相同的代数式在不同收敛域下代表完全不同的时间函数。4.3 冲激响应的求法与第1题对照确定了 (K) 之后冲激响应就是 (H(s)) 的拉普拉斯逆变换。沿用第一题的配方法[ H(s)\frac{6(s2)}{s^22s5}6\frac{s1}{(s1)^24}6\frac{1}{(s1)^24} ]逆变换[ h(t)\left[6e^{-t}\cos(2t)3e^{-t}\sin(2t)\right]u(t) ]这道题和第一题放在一起看很有意思第一题是“给系统函数和输入求响应”第三题是“给图形和条件反推系统函数”两者最终都落到同一个配方法操作上。你如果能独立把这两题做顺拉普拉斯变换部分的核心计算能力就过关了。5. 第四题z域解差分方程配标准型最好用5.1 从差分方程到系统函数的z域写法第四题开始进入离散系统。典型的差分方程长这样[ y[n]-0.5y[n-1]0.25y[n-2]x[n]x[n-1] ]设系统初始状态为零两边取z变换利用移位性质 (y[n-k]\leftrightarrow z^{-k}Y(z))得到[ Y(z)(1-0.5z^{-1}0.25z^{-2})X(z)(1z^{-1}) ]于是系统函数[ H(z)\frac{Y(z)}{X(z)}\frac{1z^{-1}}{1-0.5z^{-1}0.25z^{-2}} ]求单位脉冲响应 (h[n])就是对 (H(z)) 做逆z变换。这里不建议先分子分母同乘 (z^2) 转成 (z) 的正幂形式再做部分分式虽然也能算但在作业书写上容易把 z 的高次幂搞混。直接保留 (z^{-1}) 形式往标准模板上靠更不容易出错。5.2 配成cos/sin标准型再逆变换观察分母 (1-0.5z^{-1}0.25z^{-2})它和标准形式 (1-2az^{-1}\cos\thetaa^2z^{-2}) 对比可以得到[ a^20.25 \Rightarrow a0.5 ] [ 2a\cos\theta0.5 \Rightarrow \cos\theta0.5 \Rightarrow \theta\frac{\pi}{3} ]这时 (a\sin\theta0.5\times\frac{\sqrt3}{2}\frac{\sqrt3}{4}\approx0.433)。接下来要做的是把分子 (1z^{-1}) 表示成两个标准模板的线性组合[ 1z^{-1}A(1-0.25z^{-1})B\left(\frac{\sqrt3}{4}z^{-1}\right) ]对比常数项和 (z^{-1}) 系数[ A1 ] [ 1-0.25A\frac{\sqrt3}{4}B \Rightarrow B\frac{5}{\sqrt3} ]所以[ h[n]\left(0.5^n\cos\frac{n\pi}{3}\frac{5}{\sqrt3}0.5^n\sin\frac{n\pi}{3}\right)u[n] ]这里 (B) 比较大算出来像 (5/\sqrt3\approx2.887)不用怀疑线性组合的系数完全可以大于1因为两个标准序列在 (n\neq0) 时各有符号变化叠加后能抵消出一开始比较小的数值。5.3 用递推验证前三项答案对不对算一下就知道逆变换结果对不对最踏实的办法是把差分方程直接代一遍。单位脉冲输入下 (x[n]\delta[n])递推时从 (n-1) 开始初始状态为零(h[0]x[0]1)(h[1]x[1]x[0]0.5h[0]010.51.5)(h[2]x[2]x[1]0.5h[1]-0.25h[0]000.75-0.250.5)再看公式给出的前三项(n0)(\cos01)正弦项为0结果是1与 (h[0]) 一致。(n1)(0.5\cos60^\circ0.25)加 (\frac{5}{\sqrt3}\times0.5\times\frac{\sqrt3}{2}\frac541.25)总和1.5一致。(n2)(0.25\cos120^\circ-0.125)加 (\frac{5}{\sqrt3}\times0.25\times\frac{\sqrt3}{2}0.625)总和0.5一致。三重验证全部通过答案可以放心交上去。这个方法比反复检查部分分式快得多强烈推荐在作业里保留因为老师能从你的验证步骤看出你真的理解了时域和z域之间的联系。6. 第五题状态转移矩阵的s域求法6.1 状态方程与特征值先列清楚第五题如果考状态空间最常问的是求状态转移矩阵 (\Phi(t)e^{At})。还有一种低频考法是给你微分方程让你自己列状态方程但核心计算还是矩阵指数。设系统的状态方程中系统矩阵为[ A\begin{bmatrix}0 1\ -2 -3\end{bmatrix} ]第一步先算特征多项式[ \det(sI-A)\det\begin{bmatrix}s -1\ 2 s3\end{bmatrix}s(s3)2s^23s2(s1)(s2) ]特征值为 (-1) 和 (-2)。到这里先停一下看一眼特征值是不是互异实数如果是说明状态转移矩阵最终会是两个指数函数的线性组合形式比较简单如果出现共轭复根后面就会出现正余弦项这能帮你提前预判表达式的形态。6.2 (sI-A)^{-1}逐个元素展开状态转移矩阵的s域算法核心是[ \Phi(t)\mathcal{L}^{-1}\left[(sI-A)^{-1}\right] ]先求逆矩阵[ (sI-A)^{-1}\frac{1}{(s1)(s2)}\begin{bmatrix}s3 1\ -2 s\end{bmatrix} ]现在对矩阵的四个元素分别做部分分式展开。第一个元素[ \frac{s3}{(s1)(s2)}\frac{2}{s1}-\frac{1}{s2} ]对应时域 (2e^{-t}-e^{-2t})。第二个元素[ \frac{1}{(s1)(s2)}\frac{1}{s1}-\frac{1}{s2} ]对应 (e^{-t}-e^{-2t})。第三个元素[ \frac{-2}{(s1)(s2)}\frac{-2}{s1}\frac{2}{s2} ]对应 (-2e^{-t}2e^{-2t})。第四个元素[ \frac{s}{(s1)(s2)}\frac{-1}{s1}\frac{2}{s2} ]对应 (-e^{-t}2e^{-2t})。汇总得到[ \Phi(t)\begin{bmatrix} 2e^{-t}-e^{-2t} e^{-t}-e^{-2t}\ -2e^{-t}2e^{-2t} -e^{-t}2e^{-2t} \end{bmatrix} ]有几个数值比较巧比如第二行第一列的两个系数是 (-2) 和 (2)最容易写成 (2e^{-t}-2e^{-2t}) 丢掉负号。写完后一定要检查符号这种小错误在矩阵里很容易被忽略。6.3 用Φ(0)I验证矩阵指数结果验证矩阵指数对不对第一条铁律是时间 (t0) 时状态转移矩阵等于单位矩阵。代入上面结果[ \Phi(0)\begin{bmatrix} 2-1 1-1\ -22 -12 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 0\ 0 1 \end{bmatrix} ]完全正确。还可以试第二条性质(\Phi(t_1t_2)\Phi(t_1)\Phi(t_2))这个验证计算量稍大作业里写一行“满足指数性质”即可。第三条性质是它的逆矩阵等于 (\Phi(-t))适合用来检查是否可逆实际手算中用得不多。矩阵指数还有种做法是把 (A) 对角化因为特征值互异可以写成 (AP\Lambda P^{-1})然后 (e^{At}Pe^{\Lambda t}P^{-1})。这个方法不是不能用但对低阶系统来说s域法只涉及部分分式语义更直观也不容易在求特征向量时出错。我对你们作业的建议是低阶系统统一用s域法高阶系统或者系统矩阵结构特殊时再考虑对角化。7. 交作业前自查清单与助教视角提醒7.1 卷面与画图最容易丢分的地方作业交得多了你会发现扣分点未必全在答案本身。拉普拉斯变换的题目要求画零极点图时务必把实轴虚轴标注清楚极点和零点用不同的符号区分常见约定是零点画圈、极点画叉。收敛域要用阴影或粗线明确标在图上不能只画一根轴。离散系统要求画z平面零极点图时还要把单位圆画出来因为单位圆就是离散稳定的分界线不画等于没有表达稳定性结论。部分分式展开的书写顺序也有讲究。建议先写“设”的表达式再写求系数的过程最后才写逆变换结果。很多同学直接跳到最后一步系数怎么来的完全看不到老师想给步骤分都无从下手。作业本质上是演练不是考试把过程写完整才是这门课想要培养的工程习惯。7.2 三类条件别漏写我批改这类作业时发现有三个条件特别容易被忽略。第一是系统是否零状态。零状态响应和全响应差一个零输入响应如果你默认零状态必须写“设初始条件为零”或在系统函数推导时注明。第二是单边还是双边拉普拉斯变换。这道作业里的信号都带 (u(t))是单边变换所以收敛域写法要明确不能含糊。第三是差分方程的初始条件。z变换的移位性质建立在 (n0) 时序列为零的基础上最好在第一步就声明系统是因果的不然部分分式展开得到的结果可能对不上。这三个条件不写结论也可能碰巧对但不够严谨。信号与系统这门课很讲究“同一表达式在不同条件下代表不同系统”条件本身就是答案的一部分。7.3 我反复踩过的坑你们可以绕开第一题那种 (s^22s5) 的分母我第一次算的时候直接去解复数极点然后把部分分式写成复数形式算到一半就开始怀疑人生。后来才习惯先配方用实系数模板对上去工作量瞬间小了一半。第四题z变换的 (B5/\sqrt3) 也是刚算出来觉得系数太难看以为配方错了后来用递推验证才发现答案就是对的。这两个经历让我学会一件事不要凭美观程度判断答案对错要用定理和递推去验证。做第十三次作业的过程中我自己的体会是这门课越到后面越像是在练一种“翻译能力”把时域现象翻译成s域表达式再翻译成极点位置再翻译成稳定性结论。每一次翻译都有对应的规则而作业题就是最好的翻译练习素材。这套方法短期内能帮你把作业写对长期来看信号与系统分析这套思维在通信、控制、音频处理这些方向上都会一遍遍用到值得花时间扎扎实实弄通。