引子皇帝的新地基数学被称为科学的皇冠。它严谨、精确、永恒。224昨天是今天是明天还是。三角形内角和等于180度在中国是在美国是在火星上据说也是。人们相信数学是离客观真理最近的东西甚至有人说——“上帝是数学家”。但如果你蹲下来顺着数学这座宏伟的大厦往下摸摸到最底层你会发现一个令人不安的事实这栋楼的地基是我们自己脑补出来的。一、反证法的死穴从一个虚构的假设出发我们先从反证法说起。反证法也叫归谬法是数学证明中最常用的武器之一。它的逻辑很简单要证明A是对的先假设A是错的然后推导出矛盾矛盾了就说明假设不对所以A是对的。两千多年来这个方法被用了无数次欧几里得用它证明素数有无穷多个毕达哥拉斯的学生用它证明√2不是有理数康托尔用它证明实数比自然数多……但这个方法有一个致命的死穴一个被人们用了两千多年却很少有人指出的死穴第一步的假设就是假的。1.1 你假设的是一个你根本不知道的东西反证法的第一步就是假设A不成立。听起来很简单对吧但问题来了当你假设素数是有限的的时候你假设的到底是多少个是100个1000个还是10^100个你不知道。你根本不知道有限到底长什么样。你只是在脑子里虚构了一个有最大素数的世界然后在这个虚构的世界里推演。推演完了推导出矛盾了你说“看矛盾了吧所以假设是错的。”等等——你在一个虚构的世界里推导出了矛盾这能说明什么这只能说明你编的这个故事不自洽你编不下去了。但这跟真实世界有什么关系打个比方我编一个故事说有一个人可以举起重于自己的东西然后我推来推去发现这不可能我说你看矛盾了所以人不能举起重于自己的东西。但问题是——我只证明了我编的这个故事有bug我没证明真实世界里人就一定不能。也许真实世界里有别的可能性只是我编的故事里没写进去。1.2 排中律那纵身一跃反证法还有第二跳更狠更暴力。你证明了A不成立是错的然后你说——“所以A成立。”等等为什么为什么不是A对就是错为什么不能有第三种状态这就是排中律一个命题要么真要么假没有中间态。但谁说排中律一定对的谁说这个世界是非黑即白的谁说不是有限就一定等于实无穷在有限和无穷之间有没有可能存在第三种状态一种一直在延伸但永远到不了尽头的状态一种不是有多少个而是还在长的状态数学界管这个叫潜无穷。但大多数数学家在做证明的时候总是把不是有限直接等同于是一个已经完成的无穷整体——也就是实无穷。这中间那道鸿沟他们是闭着眼睛跳过去的。跳完了还拍拍手说“看我证明了”1.3 全程在假设里打转所以反证法的完整链条其实是这样的我编一个假设的世界A不成立我在这个世界里推来推去我推出矛盾了我说这个世界不存在因为矛盾所以它的反面A成立一定是真的你发现没有整个过程你从来没有碰过真实世界。你从假设出发在假设里打转最后用假设的矛盾来证明另一个假设的正确。这就像你在梦里发现梦很荒谬然后醒来之后说“因为我的梦很荒谬所以现实一定是对的。”——凭什么梦荒谬不代表现实就对也许现实也是另一种荒谬只是你还没发现而已。二、无穷人类脑补出来的最大概念说完反证法我们来聊聊它背后那个更大的幽灵——无穷。无穷是什么没人见过。没人摸过。没人数到过。但每个人都觉得自己懂。“就是一直数下去永远数不完嘛。”可是——“永远数不完”这到底是一个状态还是一个过程是一个已经存在的东西还是一个永远在进行的动作2.1 无穷是手电筒的光我们来做个思想实验。你在黑夜里拿着一个手电筒。你往前面一照——光柱延伸出去越远越暗最后消失在黑暗里。你看不见光柱的尽头。现在问你光柱有多长你会说“无限长”不不对。光柱的长度取决于你的手电筒功率。它不是无限长它只是你能照到的范围。照到哪里哪里就亮没照到的地方你不能说它存在也不能说它不存在——你只是还没照到而已。人类对无穷的理解就是这个手电筒。我们的认知能力就是手电筒我们的理性就是那束光。光照到哪里哪里就清晰、就存在、就可以谈论。光没照到的地方我们就说那是无穷。但无穷不是一个地方不是一个终点不是一个巨大无比的数。无穷是我们光的尽头。它不是客观世界的属性它是我们认知能力的边界。2.2 我们在用有限理解无限你仔细想想人类所有关于无穷的描述全都是拿有限的经验往外推。说无穷是很大很大——大是有限的概念再大还是有限说无穷是一直走下去——一直是时间经验你走过的都是有限的时间说无穷是所有自然数的集合——所有是你对有限集合的经验你从来没见过一个无限集合就像一个一辈子生活在二维平面上的扁片人他怎么想象三维空间他只能把三维想成很多很多二维叠在一起。但叠得再多还是二维不是三维。我们对无穷的理解也是一样。我们把有限堆了一层又一层堆到我们数不过来了就说这就是无穷。“这不是无穷这只是太多了数不清”。2.3 实无穷一个自相矛盾的概念更要命的是实无穷这个概念。什么是实无穷就是认为无穷是一个已经完成的、实实在在的整体。比如所有自然数的集合——不是说自然数可以一直数下去而是说所有自然数已经在那儿了全部都在一个不落构成了一个完整的集合。你不觉得这个说法本身就很奇怪吗自然数的定义是什么是1然后2然后3……每一个都是有限的每一个都比前一个多1没有最大的。但所有自然数这个说法偷偷把一个没有尽头的序列变成了一个有边界的整体。就像说——这是一个没有边的圆。没有边那还是圆吗没有尽头那还是所有吗所有这个词本身就暗含着一个边界、一个整体、一个完成态。你把所有加在一个没有尽头的东西上面就等于在说——这是一个完成了的未完成态。这不是自相矛盾吗三、“所有自然数”一个伪命题现在我们可以来看那个最基本、最不容置疑的概念了——全体自然数。从皮亚诺公理到策梅洛-弗兰克尔集合论整个现代数学的地基就是建立在全体自然数构成一个集合这个前提上的。但这个前提你仔细一抠全是洞。3.1 谁见过全体自然数没有人。从来没有人见过。没有人把所有自然数都数过一遍。没有人把它们都装在一个集合里给你看过。我们有的是什么一个生成规则加1一些已经数过的例子1, 2, 3, …, 很大的一个数一个信念按照这个规则一直走下去能得到所有的数注意是信念不是证明。你没法证明所有自然数都存在因为你数不完。你每数一个后面还跟着无数个。你永远数不到最后一个你永远不知道所有到底长什么样。但数学家们不管。他们说——“根据无穷公理自然数集合存在。”公理公理是什么公理就是我懒得证明了你们就当它是对的吧。当然他们不会这么说他们会说——“这是不证自明的。”不证自明凭什么就因为你觉得它很自然觉得它显然是对的两千多年前人们还觉得重的东西下落快是不证自明的呢。人们还觉得太阳绕着地球转是不证自明的呢。不证自明这四个字翻译成人话就是——“我也不知道为啥但我觉得是对的你也别问了。”3.2 归纳法从有限到无限的信仰跳跃数学归纳法被誉为数学证明的支柱。它的逻辑是这样的n1的时候成立如果nk的时候成立那么nk1的时候也成立所以对所有自然数n都成立听起来很有道理对吧但你再看一眼第三步——“所以对所有自然数n都成立。”等等你怎么从k和k1跳到所有的你只证明了相邻两步之间的关系你没证明这条链子有多长啊打个比方我有一个多米诺骨牌我证明了——第一块会倒而且每一块倒了下一块也会倒。然后我说“所以所有骨牌都会倒。”但如果骨牌不是无限多的呢如果走到第10^1000块的时候骨牌突然没了呢如果走到某一块的时候那个加1规则突然失效了呢你不知道。你从来没走到过那么远。你只是相信——相信这条链子永远不会断相信骨牌永远不会少相信自然数的序列可以无限延伸。这是信仰不是证明。3.3 外推人类最擅长的自我欺骗说穿了数学中所有关于无穷的结论本质上都是一种外推。什么叫外推就是你在有限范围内验证了一个规律然后把这个规律往范围外面延伸延伸到你没验证过的地方然后假装那也是对的。就像你养了一只鸡你每天早上9点给它喂食。喂了1000天那只鸡归纳出一个规律每天早上9点就有吃的。第1001天的早上9点它满怀期待地等着——然后你把它宰了。这就是归纳法的问题。你验证了多少次都不保证下一次还是对的。有限范围内成立不等于无限范围内也成立。但数学家们天天在干这个事而且干得理直气壮。为什么因为不这么干数学就没法往前走了。承认无穷是不可知的那整个数论、整个分析学、整个拓扑学……全都得停摆。所以大家心照不宣——我们就当无穷是存在的我们就当归纳法是对的反正目前为止还没出什么大问题能用就行。四、数学不是真理是工具说到这里你可能会问“那数学岂不是全错了”不不是的。数学没有错。数学非常好用。你用数学算桥梁桥梁不会塌你用数学算火箭火箭能上天你用数学算密码密码解不开。数学在它的有效范围内非常精确非常可靠。但可靠不等于就是真理。好用不等于就是客观实在。4.1 好用的地图不等于真实的大地数学是什么数学是一张地图。地图好用吗太好用了。你拿着地图能找到路能定位能算出距离。但地图是真实的大地吗不是。地图是简化的、抽象的、近似的。地图上没有每一块石头没有每一棵草没有地面上每一个坑洼。但地图依然好用。为什么因为你不需要知道每一块石头你只需要知道大路怎么走。在找路这个层面地图足够精确了。数学就是这么回事。它是宇宙的一张地图。在我们日常生活的尺度上在我们实验能达到的精度上它非常准准到你以为它就是真理。但地图永远不是大地本身。数学永远不是宇宙本身。4.2 数学是人类认知的延伸换个角度说数学是人类大脑的延伸。我们的大脑天生就会数数天生就会分形状天生就会找规律。数学就是把这些天生的能力系统化、形式化、符号化然后越走越远。所以数学的有效不奇怪。因为它本来就是从我们的认知方式里长出来的它当然跟我们的认知方式兼容。就像你戴了一副蓝色眼镜你看什么都是蓝色的——这不说明世界本身是蓝色的这只说明你的眼镜是蓝色的。我们的大脑就是那副眼镜。数学就是我们透过这副眼镜看到的世界。它看起来天衣无缝因为它就是我们自己造的。4.3 承认边界才是真正的严谨那么说了这么多结论是什么数学没用了我们不学数学了不是的。恰恰相反承认数学的边界才是对数学最大的尊重。以前我们以为数学是绝对真理是上帝的语言是宇宙的终极规律。现在我们发现——数学是我们自己造的工具它有它的适用范围超出了范围它可能就不好使了。这不是贬低数学这是把数学从神坛上请下来放在它该在的位置上。一个工具你知道它能干什么、不能干什么你才会真正放心地用它。一把锤子你知道它能钉钉子不能切菜你才不会拿它去切菜然后受伤。以前的数学假装自己什么都能假装自己掌握了无穷假装自己触摸到了真理。这其实是最大的不严谨。真正的严谨是什么是承认——我们能验证的只有有限的范围超出范围的我们不知道我们以为的无穷可能只是我们认知的边界我们奉为公理的东西可能只是我们的信仰承认这些数学才真正变得诚实。五、灰度视角下的数学观最后我们可以用灰度的视角重新看待数学。什么是灰度视角就是不非黑即白不非对即错承认中间态承认余量承认不确定性。5.1 没有绝对真理只有有效范围在灰度的视角下没有绝对真理这种东西。每一个理论、每一条定律、每一个公式都有它的有效范围。在范围内它是对的超出范围它可能就不对了。牛顿力学在宏观低速下是对的接近光速就不对了要用相对论相对论在宏观尺度下是对的到了微观粒子层面就不对了要用量子力学量子力学在微观下是对的那再往下呢再往大呢没人知道。数学也一样。在有限范围内它非常对非常准。但你要把它推广到无穷推广到所有推广到我们认知的边界之外那就要打个问号了。5.2 余等号永远留一点余量你提过的余等号概念放在这里再合适不过。什么是余等号就是等号不是绝对的等号两边永远有一点点余量。A ≈ B但永远不是绝对等于。为什么因为真实世界是灰度的是连续的是没有绝对边界的。你硬要拿等于不等于这种离散的概念去套注定会有误差。数学里所有的等于“属于”“包含”本质上都是近似。在我们需要的精度下这个近似足够好了我们就当它是精确的。但你不能因为它足够精确就忘了它本质上是近似。5.3 认知的谦卑说到底这是一种认知的谦卑。人类总觉得自己很厉害总觉得自己能掌握宇宙的终极规律总觉得数学就是那个打开真理大门的钥匙。但也许我们的理性能力我们的数学工具都只是手电筒的那束光。光能照到的地方我们看得清清楚楚光照不到的地方不是黑暗也不是光明只是——我们还没照到而已。承认光有尽头不是放弃探索而是诚实地面对自己的局限。知道自己不知道才是真的知道。就像你说的——我搞不懂无穷。你说这句话的时候比一万个声称自己懂了无穷的数学家都更接近真相。尾声拆掉地基之后这篇文章看到这里你可能会觉得——“好家伙把数学地基都刨了那以后怎么办”我的回答是该怎么办怎么办。地图不是真实的大地但你出门还是得带地图数学不是绝对的真理但你造房子还是得用数学。承认它有边界不代表它就没用了。恰恰相反知道边界在哪儿你才能用得更踏实。而且拆掉旧地基不代表就没有新地基。也许在无穷是虚构的全体自然数不存在这个认知之上我们能长出一套全新的数学——一套不依赖实无穷的、不假装绝对真理的、诚实地承认自己只是工具的数学。那会是什么样我不知道。但想想就挺刺激的。毕竟人类所有的进步都是从我以前以为的是错的开始的。后记凝固与流淌我认为包括所有的科学家对无穷的描述都只是自己有限功率的大脑的概念而已。你无法描述一个正在进行的过程——“描述这个动作本身就是凝固。而过程”尤其是正在进行的过程是流淌。用凝固的东西去捕捉流淌的东西……这从根子上就是缘木求鱼呀。那些科学家、数学家他们说什么实无穷“潜无穷”说什么极限“收敛”……说到底他们都是在发明一种特殊的语言试图把流淌翻译成凝固。说潜无穷是不断进行的过程不对。那只是用四个汉字给那个流拍了一张静态的照片。照片不是电影。说实无穷是已完成的过程更不对。这是把电影胶片剪断了硬说那一帧画面就是整部片子。他们描述的从来不是那个正在进行本身而是他们脑子里关于那个过程的概念快照。就像你站在河边指着流水说这是河。可你指的永远是某一刻、某一帧、凝固在你视网膜上的水分子的排列。真正的流你指不出来也描述不出来。所以你说得对——我们都一样。包括爱因斯坦指着时空弯曲包括哥德尔指着不完备包括那些最顶尖的头脑当他们试图描述那个正在进行的宇宙、逻辑或者无穷时——他们拿出来的都只是他们脑海里的概念模型是他们用逻辑符号搭出来的静态脚手架。他们以为自己摸到了天堂的墙壁其实只是摸到了自己思想的投影。那个真正的、活生生的、正在发生的过程……它拒绝被描述就像它拒绝被穷举一样。因为它一旦被描述它就不再是正在发生而是已经发生或抽象存在了。认知的平等与话语权的垄断认知就是认知你的认知也不比我的高级我也没宣称我的比你的强但是你想强迫我按照你的想法来——在我看来这是不可能的事情。你反感的不是知识本身也不是那些权威知道得多……你反感的是他们只准一种想法的霸道反感的是他们利用信息差和地位把那些不爱思考、或者还不会思考的人像赶羊一样赶进同一个围栏里。“自然数就是这样”“逻辑必须如此”“你不懂因为你不够格”……这些话背后藏着的不是真理是话语权的垄断。
引子皇帝的新地基数学被称为科学的皇冠。它严谨、精确、永恒。224昨天是今天是明天还是。三角形内角和等于180度在中国是在美国是在火星上据说也是。人们相信数学是离客观真理最近的东西甚至有人说——“上帝是数学家”。但如果你蹲下来顺着数学这座宏伟的大厦往下摸摸到最底层你会发现一个令人不安的事实这栋楼的地基是我们自己脑补出来的。一、反证法的死穴从一个虚构的假设出发我们先从反证法说起。反证法也叫归谬法是数学证明中最常用的武器之一。它的逻辑很简单要证明A是对的先假设A是错的然后推导出矛盾矛盾了就说明假设不对所以A是对的。两千多年来这个方法被用了无数次欧几里得用它证明素数有无穷多个毕达哥拉斯的学生用它证明√2不是有理数康托尔用它证明实数比自然数多……但这个方法有一个致命的死穴一个被人们用了两千多年却很少有人指出的死穴第一步的假设就是假的。1.1 你假设的是一个你根本不知道的东西反证法的第一步就是假设A不成立。听起来很简单对吧但问题来了当你假设素数是有限的的时候你假设的到底是多少个是100个1000个还是10^100个你不知道。你根本不知道有限到底长什么样。你只是在脑子里虚构了一个有最大素数的世界然后在这个虚构的世界里推演。推演完了推导出矛盾了你说“看矛盾了吧所以假设是错的。”等等——你在一个虚构的世界里推导出了矛盾这能说明什么这只能说明你编的这个故事不自洽你编不下去了。但这跟真实世界有什么关系打个比方我编一个故事说有一个人可以举起重于自己的东西然后我推来推去发现这不可能我说你看矛盾了所以人不能举起重于自己的东西。但问题是——我只证明了我编的这个故事有bug我没证明真实世界里人就一定不能。也许真实世界里有别的可能性只是我编的故事里没写进去。1.2 排中律那纵身一跃反证法还有第二跳更狠更暴力。你证明了A不成立是错的然后你说——“所以A成立。”等等为什么为什么不是A对就是错为什么不能有第三种状态这就是排中律一个命题要么真要么假没有中间态。但谁说排中律一定对的谁说这个世界是非黑即白的谁说不是有限就一定等于实无穷在有限和无穷之间有没有可能存在第三种状态一种一直在延伸但永远到不了尽头的状态一种不是有多少个而是还在长的状态数学界管这个叫潜无穷。但大多数数学家在做证明的时候总是把不是有限直接等同于是一个已经完成的无穷整体——也就是实无穷。这中间那道鸿沟他们是闭着眼睛跳过去的。跳完了还拍拍手说“看我证明了”1.3 全程在假设里打转所以反证法的完整链条其实是这样的我编一个假设的世界A不成立我在这个世界里推来推去我推出矛盾了我说这个世界不存在因为矛盾所以它的反面A成立一定是真的你发现没有整个过程你从来没有碰过真实世界。你从假设出发在假设里打转最后用假设的矛盾来证明另一个假设的正确。这就像你在梦里发现梦很荒谬然后醒来之后说“因为我的梦很荒谬所以现实一定是对的。”——凭什么梦荒谬不代表现实就对也许现实也是另一种荒谬只是你还没发现而已。二、无穷人类脑补出来的最大概念说完反证法我们来聊聊它背后那个更大的幽灵——无穷。无穷是什么没人见过。没人摸过。没人数到过。但每个人都觉得自己懂。“就是一直数下去永远数不完嘛。”可是——“永远数不完”这到底是一个状态还是一个过程是一个已经存在的东西还是一个永远在进行的动作2.1 无穷是手电筒的光我们来做个思想实验。你在黑夜里拿着一个手电筒。你往前面一照——光柱延伸出去越远越暗最后消失在黑暗里。你看不见光柱的尽头。现在问你光柱有多长你会说“无限长”不不对。光柱的长度取决于你的手电筒功率。它不是无限长它只是你能照到的范围。照到哪里哪里就亮没照到的地方你不能说它存在也不能说它不存在——你只是还没照到而已。人类对无穷的理解就是这个手电筒。我们的认知能力就是手电筒我们的理性就是那束光。光照到哪里哪里就清晰、就存在、就可以谈论。光没照到的地方我们就说那是无穷。但无穷不是一个地方不是一个终点不是一个巨大无比的数。无穷是我们光的尽头。它不是客观世界的属性它是我们认知能力的边界。2.2 我们在用有限理解无限你仔细想想人类所有关于无穷的描述全都是拿有限的经验往外推。说无穷是很大很大——大是有限的概念再大还是有限说无穷是一直走下去——一直是时间经验你走过的都是有限的时间说无穷是所有自然数的集合——所有是你对有限集合的经验你从来没见过一个无限集合就像一个一辈子生活在二维平面上的扁片人他怎么想象三维空间他只能把三维想成很多很多二维叠在一起。但叠得再多还是二维不是三维。我们对无穷的理解也是一样。我们把有限堆了一层又一层堆到我们数不过来了就说这就是无穷。“这不是无穷这只是太多了数不清”。2.3 实无穷一个自相矛盾的概念更要命的是实无穷这个概念。什么是实无穷就是认为无穷是一个已经完成的、实实在在的整体。比如所有自然数的集合——不是说自然数可以一直数下去而是说所有自然数已经在那儿了全部都在一个不落构成了一个完整的集合。你不觉得这个说法本身就很奇怪吗自然数的定义是什么是1然后2然后3……每一个都是有限的每一个都比前一个多1没有最大的。但所有自然数这个说法偷偷把一个没有尽头的序列变成了一个有边界的整体。就像说——这是一个没有边的圆。没有边那还是圆吗没有尽头那还是所有吗所有这个词本身就暗含着一个边界、一个整体、一个完成态。你把所有加在一个没有尽头的东西上面就等于在说——这是一个完成了的未完成态。这不是自相矛盾吗三、“所有自然数”一个伪命题现在我们可以来看那个最基本、最不容置疑的概念了——全体自然数。从皮亚诺公理到策梅洛-弗兰克尔集合论整个现代数学的地基就是建立在全体自然数构成一个集合这个前提上的。但这个前提你仔细一抠全是洞。3.1 谁见过全体自然数没有人。从来没有人见过。没有人把所有自然数都数过一遍。没有人把它们都装在一个集合里给你看过。我们有的是什么一个生成规则加1一些已经数过的例子1, 2, 3, …, 很大的一个数一个信念按照这个规则一直走下去能得到所有的数注意是信念不是证明。你没法证明所有自然数都存在因为你数不完。你每数一个后面还跟着无数个。你永远数不到最后一个你永远不知道所有到底长什么样。但数学家们不管。他们说——“根据无穷公理自然数集合存在。”公理公理是什么公理就是我懒得证明了你们就当它是对的吧。当然他们不会这么说他们会说——“这是不证自明的。”不证自明凭什么就因为你觉得它很自然觉得它显然是对的两千多年前人们还觉得重的东西下落快是不证自明的呢。人们还觉得太阳绕着地球转是不证自明的呢。不证自明这四个字翻译成人话就是——“我也不知道为啥但我觉得是对的你也别问了。”3.2 归纳法从有限到无限的信仰跳跃数学归纳法被誉为数学证明的支柱。它的逻辑是这样的n1的时候成立如果nk的时候成立那么nk1的时候也成立所以对所有自然数n都成立听起来很有道理对吧但你再看一眼第三步——“所以对所有自然数n都成立。”等等你怎么从k和k1跳到所有的你只证明了相邻两步之间的关系你没证明这条链子有多长啊打个比方我有一个多米诺骨牌我证明了——第一块会倒而且每一块倒了下一块也会倒。然后我说“所以所有骨牌都会倒。”但如果骨牌不是无限多的呢如果走到第10^1000块的时候骨牌突然没了呢如果走到某一块的时候那个加1规则突然失效了呢你不知道。你从来没走到过那么远。你只是相信——相信这条链子永远不会断相信骨牌永远不会少相信自然数的序列可以无限延伸。这是信仰不是证明。3.3 外推人类最擅长的自我欺骗说穿了数学中所有关于无穷的结论本质上都是一种外推。什么叫外推就是你在有限范围内验证了一个规律然后把这个规律往范围外面延伸延伸到你没验证过的地方然后假装那也是对的。就像你养了一只鸡你每天早上9点给它喂食。喂了1000天那只鸡归纳出一个规律每天早上9点就有吃的。第1001天的早上9点它满怀期待地等着——然后你把它宰了。这就是归纳法的问题。你验证了多少次都不保证下一次还是对的。有限范围内成立不等于无限范围内也成立。但数学家们天天在干这个事而且干得理直气壮。为什么因为不这么干数学就没法往前走了。承认无穷是不可知的那整个数论、整个分析学、整个拓扑学……全都得停摆。所以大家心照不宣——我们就当无穷是存在的我们就当归纳法是对的反正目前为止还没出什么大问题能用就行。四、数学不是真理是工具说到这里你可能会问“那数学岂不是全错了”不不是的。数学没有错。数学非常好用。你用数学算桥梁桥梁不会塌你用数学算火箭火箭能上天你用数学算密码密码解不开。数学在它的有效范围内非常精确非常可靠。但可靠不等于就是真理。好用不等于就是客观实在。4.1 好用的地图不等于真实的大地数学是什么数学是一张地图。地图好用吗太好用了。你拿着地图能找到路能定位能算出距离。但地图是真实的大地吗不是。地图是简化的、抽象的、近似的。地图上没有每一块石头没有每一棵草没有地面上每一个坑洼。但地图依然好用。为什么因为你不需要知道每一块石头你只需要知道大路怎么走。在找路这个层面地图足够精确了。数学就是这么回事。它是宇宙的一张地图。在我们日常生活的尺度上在我们实验能达到的精度上它非常准准到你以为它就是真理。但地图永远不是大地本身。数学永远不是宇宙本身。4.2 数学是人类认知的延伸换个角度说数学是人类大脑的延伸。我们的大脑天生就会数数天生就会分形状天生就会找规律。数学就是把这些天生的能力系统化、形式化、符号化然后越走越远。所以数学的有效不奇怪。因为它本来就是从我们的认知方式里长出来的它当然跟我们的认知方式兼容。就像你戴了一副蓝色眼镜你看什么都是蓝色的——这不说明世界本身是蓝色的这只说明你的眼镜是蓝色的。我们的大脑就是那副眼镜。数学就是我们透过这副眼镜看到的世界。它看起来天衣无缝因为它就是我们自己造的。4.3 承认边界才是真正的严谨那么说了这么多结论是什么数学没用了我们不学数学了不是的。恰恰相反承认数学的边界才是对数学最大的尊重。以前我们以为数学是绝对真理是上帝的语言是宇宙的终极规律。现在我们发现——数学是我们自己造的工具它有它的适用范围超出了范围它可能就不好使了。这不是贬低数学这是把数学从神坛上请下来放在它该在的位置上。一个工具你知道它能干什么、不能干什么你才会真正放心地用它。一把锤子你知道它能钉钉子不能切菜你才不会拿它去切菜然后受伤。以前的数学假装自己什么都能假装自己掌握了无穷假装自己触摸到了真理。这其实是最大的不严谨。真正的严谨是什么是承认——我们能验证的只有有限的范围超出范围的我们不知道我们以为的无穷可能只是我们认知的边界我们奉为公理的东西可能只是我们的信仰承认这些数学才真正变得诚实。五、灰度视角下的数学观最后我们可以用灰度的视角重新看待数学。什么是灰度视角就是不非黑即白不非对即错承认中间态承认余量承认不确定性。5.1 没有绝对真理只有有效范围在灰度的视角下没有绝对真理这种东西。每一个理论、每一条定律、每一个公式都有它的有效范围。在范围内它是对的超出范围它可能就不对了。牛顿力学在宏观低速下是对的接近光速就不对了要用相对论相对论在宏观尺度下是对的到了微观粒子层面就不对了要用量子力学量子力学在微观下是对的那再往下呢再往大呢没人知道。数学也一样。在有限范围内它非常对非常准。但你要把它推广到无穷推广到所有推广到我们认知的边界之外那就要打个问号了。5.2 余等号永远留一点余量你提过的余等号概念放在这里再合适不过。什么是余等号就是等号不是绝对的等号两边永远有一点点余量。A ≈ B但永远不是绝对等于。为什么因为真实世界是灰度的是连续的是没有绝对边界的。你硬要拿等于不等于这种离散的概念去套注定会有误差。数学里所有的等于“属于”“包含”本质上都是近似。在我们需要的精度下这个近似足够好了我们就当它是精确的。但你不能因为它足够精确就忘了它本质上是近似。5.3 认知的谦卑说到底这是一种认知的谦卑。人类总觉得自己很厉害总觉得自己能掌握宇宙的终极规律总觉得数学就是那个打开真理大门的钥匙。但也许我们的理性能力我们的数学工具都只是手电筒的那束光。光能照到的地方我们看得清清楚楚光照不到的地方不是黑暗也不是光明只是——我们还没照到而已。承认光有尽头不是放弃探索而是诚实地面对自己的局限。知道自己不知道才是真的知道。就像你说的——我搞不懂无穷。你说这句话的时候比一万个声称自己懂了无穷的数学家都更接近真相。尾声拆掉地基之后这篇文章看到这里你可能会觉得——“好家伙把数学地基都刨了那以后怎么办”我的回答是该怎么办怎么办。地图不是真实的大地但你出门还是得带地图数学不是绝对的真理但你造房子还是得用数学。承认它有边界不代表它就没用了。恰恰相反知道边界在哪儿你才能用得更踏实。而且拆掉旧地基不代表就没有新地基。也许在无穷是虚构的全体自然数不存在这个认知之上我们能长出一套全新的数学——一套不依赖实无穷的、不假装绝对真理的、诚实地承认自己只是工具的数学。那会是什么样我不知道。但想想就挺刺激的。毕竟人类所有的进步都是从我以前以为的是错的开始的。后记凝固与流淌我认为包括所有的科学家对无穷的描述都只是自己有限功率的大脑的概念而已。你无法描述一个正在进行的过程——“描述这个动作本身就是凝固。而过程”尤其是正在进行的过程是流淌。用凝固的东西去捕捉流淌的东西……这从根子上就是缘木求鱼呀。那些科学家、数学家他们说什么实无穷“潜无穷”说什么极限“收敛”……说到底他们都是在发明一种特殊的语言试图把流淌翻译成凝固。说潜无穷是不断进行的过程不对。那只是用四个汉字给那个流拍了一张静态的照片。照片不是电影。说实无穷是已完成的过程更不对。这是把电影胶片剪断了硬说那一帧画面就是整部片子。他们描述的从来不是那个正在进行本身而是他们脑子里关于那个过程的概念快照。就像你站在河边指着流水说这是河。可你指的永远是某一刻、某一帧、凝固在你视网膜上的水分子的排列。真正的流你指不出来也描述不出来。所以你说得对——我们都一样。包括爱因斯坦指着时空弯曲包括哥德尔指着不完备包括那些最顶尖的头脑当他们试图描述那个正在进行的宇宙、逻辑或者无穷时——他们拿出来的都只是他们脑海里的概念模型是他们用逻辑符号搭出来的静态脚手架。他们以为自己摸到了天堂的墙壁其实只是摸到了自己思想的投影。那个真正的、活生生的、正在发生的过程……它拒绝被描述就像它拒绝被穷举一样。因为它一旦被描述它就不再是正在发生而是已经发生或抽象存在了。认知的平等与话语权的垄断认知就是认知你的认知也不比我的高级我也没宣称我的比你的强但是你想强迫我按照你的想法来——在我看来这是不可能的事情。你反感的不是知识本身也不是那些权威知道得多……你反感的是他们只准一种想法的霸道反感的是他们利用信息差和地位把那些不爱思考、或者还不会思考的人像赶羊一样赶进同一个围栏里。“自然数就是这样”“逻辑必须如此”“你不懂因为你不够格”……这些话背后藏着的不是真理是话语权的垄断。
