import numpy as np self.play( Create(cut_edge_line : Line( startnp.array([-2, -0.5, -1]) DOWN * 0.3, endnp.array([-2, 0.5, -1]) DOWN * 0.3, colorYELLOW, stroke_width2, )), Write(cut_label), run_time1.5, ) self.wait(1) # 旋转展示 self.begin_ambient_camera_rotation(rate0.3) self.wait(2) # 8. 自动演示拓扑变换简化的动画 # 创建一个小球体代表空间点 point Sphere(radius0.1).set_color(RED) point.move_to(klein_bottle_func(0, 0)) self.play(FadeIn(point)) # 让点沿着瓶面移动 self.play( UpdateFromAlphaFunc( point, lambda m, a: m.move_to(klein_bottle_func(2 * np.pi * a, 0)) ), run_time3, ) # 9. 循环展示 self.play( FadeOut(cut_edge_line), FadeOut(cut_label), FadeOut(point), *[strip.animate.set_opacity(0.8) for strip in strips], run_time2, ) # 展示最终结构 self.play( Rotate(strips, angle2 * np.pi, axisUP), run_time4, rate_funcrate_funcs.smooth, ) self.begin_ambient_camera_rotation(rate0.2) self.wait(3) # 停止旋转并等待 self.stop_ambient_camera_rotation() self.wait(1) # 淡出所有元素 self.play( *[FadeOut(mobj) for mobj in self.mobjects if mobj not in [title]], title.animate.set_opacity(0), run_time2, ) self.play(FadeOut(axes)) # dont remove below command for run button to work %manim -qm -v WARNING KleinBottleScene一、克莱因瓶的数学模型1.1 克莱因瓶的拓扑定义克莱因瓶Klein Bottle是德国数学家菲利克斯·克莱因Felix Klein于1882年提出的单侧闭曲面它是最基本的不可定向曲面之一。拓扑学定义克莱因瓶是由一个圆柱体经过以下操作构造而成将圆柱体的一端扭转180°后与另一端粘合或者等价地将莫比乌斯带的边界与一个圆盘粘合核心性质克莱因瓶内部与外部连通没有明确的内外之分不可定向性。1.2 参数方程克莱因瓶在三维空间中的标准参数方程为其中u \in [0, 2\pi)\)绕瓶体一周的角度r 0\)瓶身主半径本代码取 \(r2\)该方程对应的几何结构可分解为三个阶段莫比乌斯带阶段当 v∈[0,2π] 时形成莫比乌斯带的局部几何边界扭转阶段当 v∈[2π,3π] 时曲面边界发生半扭转闭合阶段当 v∈[3π,4π]时曲面边界闭合形成自交的封闭结构二、代码实现的数学原理2.1 参数化函数设计def klein_bottle_func(u, v): 克莱因瓶参数方程 x (r np.cos(u/2)*np.sin(v) - np.sin(u/2)*np.sin(2*v)) * np.cos(u) y (r np.cos(u/2)*np.sin(v) - np.sin(u/2)*np.sin(2*v)) * np.sin(u) z np.sin(u/2)*np.sin(v) np.cos(u/2)*np.sin(2*v) return np.array([x, y, z]) UP*0.5数学分析系数 rcos⁡(u/2)sin⁡v−sin⁡(u/2)sin⁡2vrcos(u/2)sinv−sin(u/2)sin2v 决定了瓶体的径向距离\cos(u/2)\) 和 \(\sin(u/2)\) 项产生半频率调制这正是莫比乌斯带扭转特性的体现2.2 参数域划分参数数学符号范围物理意义u圆周角[0,2π]绕瓶体轴线旋转v母线参数[0,4π]形成双层结构采样策略代码将 vv-范围 [0,4π]划分为7段每段宽为​用于创建7种不同颜色的色带增强拓扑结构的可视化效果。三、代码模块功能详解3.1 场景配置模块class KleinBottleScene(ThreeDScene): def construct(self): self.camera.background_color BLACKBOARD_GREEN self.set_camera_orientation(phi70°, theta-35°, zoom0.85)参数作用background_color设置场景背景色黑绿色模拟物理黑板phi70°相机俯仰角相对于水平面的角度theta-35°相机水平旋转角逆时针为负zoom0.85相机缩放系数0.85倍3.2 二维界面固定模块self.add_fixed_in_frame_mobjects(title, group1, group2, group3)该调用将四个信息组固定在屏幕坐标系上不受三维相机旋转的影响确保文字始终面向观众。3.3 三维坐标轴创建模块axes ThreeDAxes( x_range[-4, 4, 1], # x从-4到4刻度间隔1 y_range[-4, 4, 1], # y从-4到4刻度间隔1 z_range[-3, 3, 1], # z从-3到3刻度间隔1 x_length7, # 显示长度7单位 y_length7, z_length5, )颜色渐变设置for axis in [axes.x_axis, axes.y_axis, axes.z_axis]: axis.set_color(color[RED, WHITE, RED])每条轴使用红-白-红渐变着色渐变色数组在Manim中自动插值3.4 文本与公式生成模块对象类型使用函数特点应用场景Text()纯文本无数学公式支持标题、标签MathTex()LaTeX公式数学渲染参数方程eq1MarkupText()富文本支持\n换行性质清单eq2, eq3示例说明eq1 MathTex( rx \cos u \left( r \cos\frac{u}{2} ... \right)\\, # 第一行 ry \sin u ...\\, # 第二行 rz ..., # 第三行 )MathTex中\\表示换行保持等距排列\\left(...\\right)实现自适应用括号3.5 表面构建模块Simulated 表面构建代码如下原代码未显示完整但基于Manim惯例surface Surface( lambda u, v: klein_bottle_func(u, v), # 参数方程 u_range[0, 2*PI], # u参数范围 v_range[v_min, v_max], # v参数范围分段 resolution(32, 16), # 网格分辨率 fill_opacity0.7, # 表面不透明度 stroke_width0.1, # 网格线宽度 fill_colorcolor, # 表面填充色 )核心参数解析参数含义作用resolution(32,16)在u方向32个采样点v方向16个采样点控制网格细密度fill_opacity0.7表面填充不透明度为0.7使表面半透明可见内部结构stroke_width0.1网格线条宽显示线框架构fill_color单色填充7种颜色之一3.6 动画创建模块推断动画序列# 1. 创建坐标轴 self.play(Create(axes), run_time0.5) # 2. 逐条显示色带 for strip in strips: self.play(Create(strip), run_time0.3) # 3. 相机旋转 self.begin_ambient_camera_rotation(raterate_funcs.linear) self.wait(3)Create(): 显示对象的轮廓并逐步填充begin_ambient_camera_rotation(): 自动旋转相机速率函数为线性(恒定速度)四、关键数学算法解释4.1 莫比乌斯带的推广克莱因瓶本质上可看作两个莫比乌斯带的边界粘合的产物。代码中的参数包含基础环部分(r调幅)⋅(cos⁡u,sin⁡u)形成主环半频率调制cos⁡(u/2)和 sin⁡(u/2)使母线扭转180°这是莫比乌斯带的特征双重周期在v方向使用[0,4π]使得表面本身闭合需转两圈才回到起始位置4.2 自交结构当 u0 且 v2π时zz分量首先对 sin⁡ 项使表面自身穿透形成所谓的“瓶颈”自交区域。在数学上r2 的选择避免了参数等价点造成的退化。五、代码优缺点分析优点模块化设计将2D文本与3D几何拓扑分离使用add_fixed_in_frame解耦彩色分区七种颜色清晰展示拓扑结构渐变色坐标轴视觉美观且直观待改进处未完成代码原代码在strips创建循环后未完整显示缺少Surface构建部分缺少动画self.play(...)序列未展示完整无交互控制未提供用户输入参数调整六、结语本文通过数学方程与Manim可视化实现了克莱因瓶的三维展示核心在于将拓扑学定义转化为精确的参数化方程并利用Manim强大的3D表面渲染能力呈现了该不可定向曲面的奇异特征。该代码既是数学教学的直观工具也是三维视化技术的典型应用案