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简介本资源是一份面向信号处理研究者与MATLAB初学者的加权分数傅里叶变换WFRFT核心算法实现代码聚焦于非平稳信号分析、时频域特征提取等典型应用场景。压缩包仅含1个关键文件——WFRFT.m函数脚本382B完整封装了WFRFT的离散化计算流程包括参数α输入解析、自定义权重函数接入、信号预处理、加权核构建及基于FFT的高效变换执行无需额外依赖即可直接调用。已有461人学习下载说明其在教学演示与算法验证中具备较高实用性。读者可快速将该函数集成至自己的信号分析流程中通过调节α值与权重函数灵活探索信号在分数域的演化特性显著降低WFRFT理论落地门槛代码结构清晰、注释友好适合作为理解FRFT扩展形式及开展滤波、检测、压缩等进阶应用的起点。 WFRFT 这个缩写第一次在论文里看到时我还以为是什么新出的加密芯片后来才知道它就是个数学变换而且是可以直接在 Matlab 里写代码跑起来的那种。当初我是在做物理层安全方向调研想在 OFDM 系统里用极低复杂度把星座点“打散”让非合作接收方解调不出正确比特。试了加扰、交织、混沌序列效果都有但总觉得不够系统。直到看到加权分数傅里叶变换Weighted Fractional Fourier Transform简称 WFRFT思路一下子顺了它本质上就是对传统 DFT 的四阶循环做线性加权把“整阶变换”插值成“分数阶变换”复杂度只相当于几次 FFT在通信仿真里非常友好。这篇文章就是把我自己写的 WFRFT Matlab 代码完整拆开讲一遍包括数学原理、四个基函数怎么构造、权系数怎么算、多参数扩展怎么加以及仿真验证和一堆我实际踩过的坑。代码我会给到能直接跑的程度适合正在做物理层安全、星座加密、WFRFT-OFDM 方向研究或者单纯想弄懂这个变换到底怎么写代码的同学参考。不需要你有太深的矩阵论基础只要会 Matlab 基本操作跟着思路走完一遍你也能自己改出一套可用的 WFRFT 仿真链路。1. WFRFT 到底解决了什么问题1.1 一个物理层加密的真实需求传统数字通信里发射端把比特映射成 QPSK、16QAM 这类星座点然后经过 OFDM 调制发出去。如果信道是公开的敌方接收机只要做同步、信道估计、均衡、星座解映射就能把比特捞回来。那怎么办早期思路是在 MAC 层或应用层加密或者做符号级加扰。但这些方法要么开销大要么对突发错误很敏感。WFRFT 的思路完全不同它直接对星座点做线性变换把原本规规矩矩的 QPSK 星座点旋转、扩散成一片类似噪声的点云。发端知道用阶数 α 变换收端用 -α 逆变换就能恢复第三方不知道 α看到的星座图就是一团乱码。更妙的是WFRFT 的阶数可以做成动态参数甚至再叠加一组整数向量当密钥相当于把一个简单的线性变换扩展成了大密钥空间。我一开始也怀疑过一个线性变换能有多安全后来在仿真里测了才知道只要 α 差 0.01错误解调的误比特率就能朝 0.5 逼近基本等于盲猜。当然它不能替代传统加密而是作为物理层的一道额外防线两者可以叠加使用。1.2 WFRFT 和 FrFT 千万别搞混写代码之前必须澄清一个概念。分数阶傅里叶变换Fractional Fourier TransformFrFT在信号处理里是个经典工具它通过旋转时频平面对信号做连续阶次的变换需要特征分解或者 chirp 分解来离散化计算量相对大。而 WFRFT 是另一条路它不直接去逼近连续 FrFT 的积分核而是利用 DFT 本身“作用四次变回原信号”这个循环特性用四项加权来构造任意阶次的变换。WFRFT 的离散形式非常简单只涉及原信号、FFT、时间反转、频域反转这四个分支做完就能得到“时域—频域—倒时域—倒频域”之间的任意插值。很多论文里讨论的其实是带多参数的 WFRFT也就是 MP-WFRFT这是数字通信领域更常用的版本。因为它的计算结构特别适合 OFDM接收端在 FFT 之后再做一次 WFRFT 逆变换完全不会破坏 OFDM 的正交性。2. WFRFT 的数学原理四个基函数怎么来的2.1 DFT 原本就有“四档循环”理解 WFRFT 的关键是 DFT 的四阶循环性。对一个长度 N 的离散序列 x用非归一化的 FFT 连续作用F⁰(x) x原始信号F¹(x) FFT(x)频域表示F²(x) FFT(FFT(x)) N·x(-n)这里 x(-n) 表示时间反转按 N 周期取模F³(x) FFT³(x)等于对 x(-n) 再做一次 FFT结果是 N·X(-k)也就是频域反转F⁴(x) N²·x又回到原始信号只是幅度放大。所以 DFT 天然是个四阶循环系统就像四个方向键上、右、下、左按四次回到原点。WFRFT 要做的就是在这四个固定方向上插入“斜向”的变换。插值方式不是直接旋转时频平面那种高阶方法而是对四个变换结果做复数加权。这里必须先解决一个缩放问题。如果用 Matlab 里直接按列求 FFTF²(x) 会多出一个 N 倍因子导致四个基函数幅度差异巨大加权之后能量统计很麻烦。所以我在代码里把所有 FFT 分支都除以 √N也就是使用归一化 DFT。这样定义下f₀ xf₁ FFT(x) / √Nf₂ x(-n)f₃ FFT(f₂) / √N X(-k) / √N四种基函数在能量上是等价的满足 Parseval 定理。这一步不处理好后面星座点的功率就飘了在做误码率仿真时特别容易出问题。2.2 权系数公式与多参数扩展有了四个基函数WFRFT 的变换式就长这样Y w₀(α) · f₀ w₁(α) · f₁ w₂(α) · f₂ w₃(α) · f₃关键是权系数 w₀ 到 w₃ 怎么取。单参数版本的定义是w_l(α) (1/4) · Σ_{k0}^{3} exp(-jπkα/2) · exp(jπkl/2)这里 l 从 0 到 3 对应四个分支。这个公式可以快速验证几个特殊点α0 时w₀1其余为 0输出就是原信号α1 时w₁1输出就是归一化 FFTα2 时w₂1输出是时间反转α3 时w₃1输出是频域反转α4 时又回到原信号整体周期是 4。为了增加密钥维度很多文献会引入多参数版本。定义一组整数向量 V [n₀, n₁, n₂, n₃]把权重公式改成w_l(α) (1/4) · Σ_{k0}^{3} exp(-jπk(4n_k 1)α/2) · exp(jπkl/2)其中 n_k 对应第 k 个整数参数。当 n_k 全为 0 时退化成单参数版本。多加这几个整数后即使 α 相同不同的 V 也会产生完全不同的变换结果。这块我代码里直接做成可选参数默认全零需要加密钥时传一个行向量进去就行。2.3 离散实现时最容易踩的缩放坑Matlab 里实现四个基函数时最大的坑是 F² 和 F³ 的缩放。很多人直接拿 fft(fft(x)) 当作第二个分支结果星座点幅度直接放大了 N 倍噪声方差如果没跟着调误码率曲线必定对不上。更稳妥的做法是用索引翻转实现时间反转而不是依赖两次 FFT。时间反转的定义是 x[(-n) mod N]在 Matlab 里索引从 1 开始所以要写成 x(mod(-n, N) 1)。如果写成 x(end:-1:1)对周期信号来说一般不相等只有某些特殊序列才碰巧一致。频域反转分支 f₃ 我建议直接对 f₂ 做 FFT 再归一化因为它的物理含义就是“先时间反转再变换到频域”逻辑上很顺。代码里需要注意 fft 的自变量方向输入 x 是列向量fft 默认按列计算如果输入是矩阵要显式写 fft(x, [], 1)。另外加权系数 w_l 是复数不是实数。有些研究者画星座图的时候只看实部容易忽视虚部带来的旋转和维数扩展从而误以为 WFRFT 只是做了幅度调制。3. Matlab 完整代码实现3.1 核心函数 wfrft.m我把核心变换函数单独放在一个文件里注释写全方便直接复制到你的工程目录。这个函数支持列向量输入也支持 N×P 矩阵输入每一列独立做 WFRFT方便批量仿真多帧数据。function y wfrft(x, alpha, nvec) %WFRFT 加权分数傅里叶变换 (Weighted Fractional Fourier Transform) % y WFRFT(x, alpha) 对输入 x 做阶数为 alpha 的 WFRFT。 % x 可以是 N×1 列向量也可以是 N×P 矩阵每一列独立变换。 % % y WFRFT(x, alpha, nvec) 使用多参数向量 nvec [n0 n1 n2 n3] % 各元素为整数默认 [0 0 0 0] 对应单参数版本。 % % 逆变换: x WFRFT(y, -alpha, nvec) 或 WFRFT(y, 4-alpha, nvec)。 % % 原理: y w0*f0 w1*f1 w2*f2 w3*f3 % f0 x % f1 fft(x)/sqrt(N) % f2 x(-n) % f3 fft(x(-n))/sqrt(N) if nargin 3 || isempty(nvec) nvec [0 0 0 0]; end if nargin 2 error(至少需要输入 x 和 alpha 两个参数); end N size(x, 1); n (0:N-1).; % ---- 四个基函数 ---- f0 x; % 原始信号 f1 fft(x, [], 1) / sqrt(N); % 归一化 FFT revIdx mod(-n, N) 1; % 时间反转索引 f2 x(revIdx, :); % x(-n) f3 fft(f2, [], 1) / sqrt(N); % X(-k)/sqrt(N) % ---- 加权系数 ---- k 0:3; m 4 .* nvec(:). 1; % m_k 4*n_k 1 w zeros(1, 4); for l 1:4 idx l - 1; w(l) 1/4 * sum( exp(-1j * pi / 2 * m .* k * alpha) ... .* exp(1j * pi / 2 * k * idx) ); end % ---- 加权合成 ---- y w(1) * f0 w(2) * f1 w(3) * f2 w(4) * f3; end这段代码核心就几行但我还是建议你逐行读一遍尤其是基函数的索引部分和加权系数的累加过程。3.2 演示脚本 demo_wfrft.m接下来给一个可以直接跑的演示脚本。它做的事包括生成随机 QPSK 符号、做 WFRFT、画星座图、验证逆变换、看能量变化、验证可加性。我特意没用 Communications Toolbox 里的 pskmod因为直接用指数函数生成 QPSK 更通用装了任何版本 Matlab 都能跑。%% demo_wfrft.m WFRFT 基础验证脚本 clear; clc; close all; rng(42); % 参数设置 N 256; % 符号数 alpha 0.5; % 变换阶数 nvec [0 0 0 0]; % 多参数默认全零 % 生成 QPSK 符号不依赖通信工具箱 data randi([0 3], N, 1); x exp(1j * (pi/4 pi/2 * data)); % 正变换 y wfrft(x, alpha, nvec); % 1) 星座图对比 figure(Name, 星座图对比); subplot(1, 2, 1); plot(real(x), imag(x), o); title(原始 QPSK); axis equal; grid on; xlim([-2 2]); ylim([-2 2]); subplot(1, 2, 2); plot(real(y), imag(y), .); title([WFRFT, \alpha , num2str(alpha)]); axis equal; grid on; xlim([-2 2]); ylim([-2 2]); % 2) 逆变换验证 x_rec wfrft(y, -alpha, nvec); fprintf(逆变换最大恢复误差: %.3e\n, max(abs(x_rec - x))); % 3) 能量验证 fprintf(原始信号能量: %.6f\n, sum(abs(x).^2)); fprintf(变换后信号能量: %.6f\n, sum(abs(y).^2)); % 4) 阶数扫描 figure(Name, 不同阶数星座图); alphas [0 0.25 0.5 0.75 1 1.5 2]; for i 1:length(alphas) yy wfrft(x, alphas(i), nvec); subplot(2, 4, i); plot(real(yy), imag(yy), .); title([\alpha , num2str(alphas(i))]); axis equal; grid on; xlim([-2 2]); ylim([-2 2]); end sgtitle(WFRFT 阶数扫描); % 5) 可加性验证 a 0.3; b 0.7; y_ab wfrft(wfrft(x, a, nvec), b, nvec); y_ab2 wfrft(x, a b, nvec); fprintf(可加性误差: %.3e\n, max(abs(y_ab - y_ab2)));跑完这个脚本你会看到四件事。第一α0 时星座点还是规整的 QPSK第二α 逐渐增大时星座本文还有配套的精品资源点击获取 WFRFT物理层加密算法详解及Matlab完整代码实现
简介本资源是一份面向信号处理研究者与MATLAB初学者的加权分数傅里叶变换WFRFT核心算法实现代码聚焦于非平稳信号分析、时频域特征提取等典型应用场景。压缩包仅含1个关键文件——WFRFT.m函数脚本382B完整封装了WFRFT的离散化计算流程包括参数α输入解析、自定义权重函数接入、信号预处理、加权核构建及基于FFT的高效变换执行无需额外依赖即可直接调用。已有461人学习下载说明其在教学演示与算法验证中具备较高实用性。读者可快速将该函数集成至自己的信号分析流程中通过调节α值与权重函数灵活探索信号在分数域的演化特性显著降低WFRFT理论落地门槛代码结构清晰、注释友好适合作为理解FRFT扩展形式及开展滤波、检测、压缩等进阶应用的起点。 WFRFT 这个缩写第一次在论文里看到时我还以为是什么新出的加密芯片后来才知道它就是个数学变换而且是可以直接在 Matlab 里写代码跑起来的那种。当初我是在做物理层安全方向调研想在 OFDM 系统里用极低复杂度把星座点“打散”让非合作接收方解调不出正确比特。试了加扰、交织、混沌序列效果都有但总觉得不够系统。直到看到加权分数傅里叶变换Weighted Fractional Fourier Transform简称 WFRFT思路一下子顺了它本质上就是对传统 DFT 的四阶循环做线性加权把“整阶变换”插值成“分数阶变换”复杂度只相当于几次 FFT在通信仿真里非常友好。这篇文章就是把我自己写的 WFRFT Matlab 代码完整拆开讲一遍包括数学原理、四个基函数怎么构造、权系数怎么算、多参数扩展怎么加以及仿真验证和一堆我实际踩过的坑。代码我会给到能直接跑的程度适合正在做物理层安全、星座加密、WFRFT-OFDM 方向研究或者单纯想弄懂这个变换到底怎么写代码的同学参考。不需要你有太深的矩阵论基础只要会 Matlab 基本操作跟着思路走完一遍你也能自己改出一套可用的 WFRFT 仿真链路。1. WFRFT 到底解决了什么问题1.1 一个物理层加密的真实需求传统数字通信里发射端把比特映射成 QPSK、16QAM 这类星座点然后经过 OFDM 调制发出去。如果信道是公开的敌方接收机只要做同步、信道估计、均衡、星座解映射就能把比特捞回来。那怎么办早期思路是在 MAC 层或应用层加密或者做符号级加扰。但这些方法要么开销大要么对突发错误很敏感。WFRFT 的思路完全不同它直接对星座点做线性变换把原本规规矩矩的 QPSK 星座点旋转、扩散成一片类似噪声的点云。发端知道用阶数 α 变换收端用 -α 逆变换就能恢复第三方不知道 α看到的星座图就是一团乱码。更妙的是WFRFT 的阶数可以做成动态参数甚至再叠加一组整数向量当密钥相当于把一个简单的线性变换扩展成了大密钥空间。我一开始也怀疑过一个线性变换能有多安全后来在仿真里测了才知道只要 α 差 0.01错误解调的误比特率就能朝 0.5 逼近基本等于盲猜。当然它不能替代传统加密而是作为物理层的一道额外防线两者可以叠加使用。1.2 WFRFT 和 FrFT 千万别搞混写代码之前必须澄清一个概念。分数阶傅里叶变换Fractional Fourier TransformFrFT在信号处理里是个经典工具它通过旋转时频平面对信号做连续阶次的变换需要特征分解或者 chirp 分解来离散化计算量相对大。而 WFRFT 是另一条路它不直接去逼近连续 FrFT 的积分核而是利用 DFT 本身“作用四次变回原信号”这个循环特性用四项加权来构造任意阶次的变换。WFRFT 的离散形式非常简单只涉及原信号、FFT、时间反转、频域反转这四个分支做完就能得到“时域—频域—倒时域—倒频域”之间的任意插值。很多论文里讨论的其实是带多参数的 WFRFT也就是 MP-WFRFT这是数字通信领域更常用的版本。因为它的计算结构特别适合 OFDM接收端在 FFT 之后再做一次 WFRFT 逆变换完全不会破坏 OFDM 的正交性。2. WFRFT 的数学原理四个基函数怎么来的2.1 DFT 原本就有“四档循环”理解 WFRFT 的关键是 DFT 的四阶循环性。对一个长度 N 的离散序列 x用非归一化的 FFT 连续作用F⁰(x) x原始信号F¹(x) FFT(x)频域表示F²(x) FFT(FFT(x)) N·x(-n)这里 x(-n) 表示时间反转按 N 周期取模F³(x) FFT³(x)等于对 x(-n) 再做一次 FFT结果是 N·X(-k)也就是频域反转F⁴(x) N²·x又回到原始信号只是幅度放大。所以 DFT 天然是个四阶循环系统就像四个方向键上、右、下、左按四次回到原点。WFRFT 要做的就是在这四个固定方向上插入“斜向”的变换。插值方式不是直接旋转时频平面那种高阶方法而是对四个变换结果做复数加权。这里必须先解决一个缩放问题。如果用 Matlab 里直接按列求 FFTF²(x) 会多出一个 N 倍因子导致四个基函数幅度差异巨大加权之后能量统计很麻烦。所以我在代码里把所有 FFT 分支都除以 √N也就是使用归一化 DFT。这样定义下f₀ xf₁ FFT(x) / √Nf₂ x(-n)f₃ FFT(f₂) / √N X(-k) / √N四种基函数在能量上是等价的满足 Parseval 定理。这一步不处理好后面星座点的功率就飘了在做误码率仿真时特别容易出问题。2.2 权系数公式与多参数扩展有了四个基函数WFRFT 的变换式就长这样Y w₀(α) · f₀ w₁(α) · f₁ w₂(α) · f₂ w₃(α) · f₃关键是权系数 w₀ 到 w₃ 怎么取。单参数版本的定义是w_l(α) (1/4) · Σ_{k0}^{3} exp(-jπkα/2) · exp(jπkl/2)这里 l 从 0 到 3 对应四个分支。这个公式可以快速验证几个特殊点α0 时w₀1其余为 0输出就是原信号α1 时w₁1输出就是归一化 FFTα2 时w₂1输出是时间反转α3 时w₃1输出是频域反转α4 时又回到原信号整体周期是 4。为了增加密钥维度很多文献会引入多参数版本。定义一组整数向量 V [n₀, n₁, n₂, n₃]把权重公式改成w_l(α) (1/4) · Σ_{k0}^{3} exp(-jπk(4n_k 1)α/2) · exp(jπkl/2)其中 n_k 对应第 k 个整数参数。当 n_k 全为 0 时退化成单参数版本。多加这几个整数后即使 α 相同不同的 V 也会产生完全不同的变换结果。这块我代码里直接做成可选参数默认全零需要加密钥时传一个行向量进去就行。2.3 离散实现时最容易踩的缩放坑Matlab 里实现四个基函数时最大的坑是 F² 和 F³ 的缩放。很多人直接拿 fft(fft(x)) 当作第二个分支结果星座点幅度直接放大了 N 倍噪声方差如果没跟着调误码率曲线必定对不上。更稳妥的做法是用索引翻转实现时间反转而不是依赖两次 FFT。时间反转的定义是 x[(-n) mod N]在 Matlab 里索引从 1 开始所以要写成 x(mod(-n, N) 1)。如果写成 x(end:-1:1)对周期信号来说一般不相等只有某些特殊序列才碰巧一致。频域反转分支 f₃ 我建议直接对 f₂ 做 FFT 再归一化因为它的物理含义就是“先时间反转再变换到频域”逻辑上很顺。代码里需要注意 fft 的自变量方向输入 x 是列向量fft 默认按列计算如果输入是矩阵要显式写 fft(x, [], 1)。另外加权系数 w_l 是复数不是实数。有些研究者画星座图的时候只看实部容易忽视虚部带来的旋转和维数扩展从而误以为 WFRFT 只是做了幅度调制。3. Matlab 完整代码实现3.1 核心函数 wfrft.m我把核心变换函数单独放在一个文件里注释写全方便直接复制到你的工程目录。这个函数支持列向量输入也支持 N×P 矩阵输入每一列独立做 WFRFT方便批量仿真多帧数据。function y wfrft(x, alpha, nvec) %WFRFT 加权分数傅里叶变换 (Weighted Fractional Fourier Transform) % y WFRFT(x, alpha) 对输入 x 做阶数为 alpha 的 WFRFT。 % x 可以是 N×1 列向量也可以是 N×P 矩阵每一列独立变换。 % % y WFRFT(x, alpha, nvec) 使用多参数向量 nvec [n0 n1 n2 n3] % 各元素为整数默认 [0 0 0 0] 对应单参数版本。 % % 逆变换: x WFRFT(y, -alpha, nvec) 或 WFRFT(y, 4-alpha, nvec)。 % % 原理: y w0*f0 w1*f1 w2*f2 w3*f3 % f0 x % f1 fft(x)/sqrt(N) % f2 x(-n) % f3 fft(x(-n))/sqrt(N) if nargin 3 || isempty(nvec) nvec [0 0 0 0]; end if nargin 2 error(至少需要输入 x 和 alpha 两个参数); end N size(x, 1); n (0:N-1).; % ---- 四个基函数 ---- f0 x; % 原始信号 f1 fft(x, [], 1) / sqrt(N); % 归一化 FFT revIdx mod(-n, N) 1; % 时间反转索引 f2 x(revIdx, :); % x(-n) f3 fft(f2, [], 1) / sqrt(N); % X(-k)/sqrt(N) % ---- 加权系数 ---- k 0:3; m 4 .* nvec(:). 1; % m_k 4*n_k 1 w zeros(1, 4); for l 1:4 idx l - 1; w(l) 1/4 * sum( exp(-1j * pi / 2 * m .* k * alpha) ... .* exp(1j * pi / 2 * k * idx) ); end % ---- 加权合成 ---- y w(1) * f0 w(2) * f1 w(3) * f2 w(4) * f3; end这段代码核心就几行但我还是建议你逐行读一遍尤其是基函数的索引部分和加权系数的累加过程。3.2 演示脚本 demo_wfrft.m接下来给一个可以直接跑的演示脚本。它做的事包括生成随机 QPSK 符号、做 WFRFT、画星座图、验证逆变换、看能量变化、验证可加性。我特意没用 Communications Toolbox 里的 pskmod因为直接用指数函数生成 QPSK 更通用装了任何版本 Matlab 都能跑。%% demo_wfrft.m WFRFT 基础验证脚本 clear; clc; close all; rng(42); % 参数设置 N 256; % 符号数 alpha 0.5; % 变换阶数 nvec [0 0 0 0]; % 多参数默认全零 % 生成 QPSK 符号不依赖通信工具箱 data randi([0 3], N, 1); x exp(1j * (pi/4 pi/2 * data)); % 正变换 y wfrft(x, alpha, nvec); % 1) 星座图对比 figure(Name, 星座图对比); subplot(1, 2, 1); plot(real(x), imag(x), o); title(原始 QPSK); axis equal; grid on; xlim([-2 2]); ylim([-2 2]); subplot(1, 2, 2); plot(real(y), imag(y), .); title([WFRFT, \alpha , num2str(alpha)]); axis equal; grid on; xlim([-2 2]); ylim([-2 2]); % 2) 逆变换验证 x_rec wfrft(y, -alpha, nvec); fprintf(逆变换最大恢复误差: %.3e\n, max(abs(x_rec - x))); % 3) 能量验证 fprintf(原始信号能量: %.6f\n, sum(abs(x).^2)); fprintf(变换后信号能量: %.6f\n, sum(abs(y).^2)); % 4) 阶数扫描 figure(Name, 不同阶数星座图); alphas [0 0.25 0.5 0.75 1 1.5 2]; for i 1:length(alphas) yy wfrft(x, alphas(i), nvec); subplot(2, 4, i); plot(real(yy), imag(yy), .); title([\alpha , num2str(alphas(i))]); axis equal; grid on; xlim([-2 2]); ylim([-2 2]); end sgtitle(WFRFT 阶数扫描); % 5) 可加性验证 a 0.3; b 0.7; y_ab wfrft(wfrft(x, a, nvec), b, nvec); y_ab2 wfrft(x, a b, nvec); fprintf(可加性误差: %.3e\n, max(abs(y_ab - y_ab2)));跑完这个脚本你会看到四件事。第一α0 时星座点还是规整的 QPSK第二α 逐渐增大时星座本文还有配套的精品资源点击获取