问题描述一个班级有 25 名学生其中 10 名是男生。如果随机选择两名学生不放回那么选中两名都是男生的概率是多少解法一古典概型组合数法这是最直接的计算方法。步骤 1计算样本空间所有可能的结果数从 25 名学生中任意选择 2 名不考虑顺序总共有[C_{25}^{2} \frac{25 \times 24}{2 \times 1} 300 \text{ 种不同的选法}]步骤 2计算有利事件选中两名男生的结果数从 10 名男生中任意选择 2 名不考虑顺序总共有[C_{10}^{2} \frac{10 \times 9}{2 \times 1} 45 \text{ 种不同的选法}]步骤 3计算概率根据古典概型公式[P(\text{两名都是男生}) \frac{\text{有利事件数}}{\text{样本空间总数}} \frac{C_{10}{2}}{C_{25}{2}} \frac{45}{300}]步骤 4化简分子分母同时除以 15[\frac{45}{300} \frac{3}{20}]最终答案[\boxed{\frac{3}{20}}]解法二分步乘法原理不放回抽取也可以将“连续选两名学生”视为两个步骤用乘法原理计算。步骤 1计算第一名选到男生的概率总共有 25 名学生其中 10 名是男生。[P(\text{第一名是男生}) \frac{10}{25} \frac{2}{5}]步骤 2在第一名是男生的条件下计算第二名也是男生的概率此时班级中还剩 24 名学生其中男生还剩 9 名。[P(\text{第二名是男生} \mid \text{第一名是男生}) \frac{9}{24} \frac{3}{8}]步骤 3计算两名都是男生的概率根据乘法公式[P(\text{两名都是男生}) P(\text{第一名是男生}) \times P(\text{第二名是男生} \mid \text{第一名是男生})][P(\text{两名都是男生}) \frac{2}{5} \times \frac{3}{8} \frac{6}{40} \frac{3}{20}]最终答案[\boxed{\frac{3}{20}}]两种方法得到的结果一致。结果解释与近似值精确概率(\frac{3}{20})小数近似值(\frac{3}{20} 0.15)即15%。百分比15%。这意味着在随机选择两名学生的情况下有 15% 的概率选中的两人都是男生。扩展思考如果问“至少选中一名男生的概率是多少”可以用补集法计算先计算“一名男生都没有”即两名都是女生的概率。女生人数25 - 10 15 名。[P(\text{两名都是女生}) \frac{C_{15}{2}}{C_{25}{2}} \frac{105}{300} \frac{7}{20} 0.35]因此[P(\text{至少一名男生}) 1 - P(\text{两名都是女生}) 1 - \frac{7}{20} \frac{13}{20} 0.65 65%]如果问“恰好选中一名男生的概率是多少”这表示“一男一女”。方法数从 10 名男生中选 1 名从 15 名女生中选 1 名共有 (10 \times 15 150) 种。[P(\text{恰好一名男生}) \frac{150}{300} \frac{1}{2} 50%]如果是有放回选择呢每次选择后学生放回则每次选到男生的概率是 (\frac{10}{25} \frac{2}{5})。“两名都是男生”的概率为 (\left(\frac{2}{5}\right)^2 \frac{4}{25} 0.16 16%)。与不放回15%略有不同。总结从一个有 25 名学生其中 10 名男生的班级中随机不放回选择两名学生选中两名都是男生的概率为[\boxed{\frac{3}{20} \ (15%)}]这是一个中等偏低的概率反映了在男生比例40%不高的情况下连续抽到两名男生的可能性。