近世代数是抽象代数的一个分支,是计算机科学和人工智能大数据的基础.本文内容有点长,大家可以通过index来跳转到想要看的章节,第十章的总结在我的主页里下载1.代数系半群:满足结合律的代数系交换半群:满足交换律的半群群判定方法有两种method1有单位元有逆元运算满足结合律method2运算满足结合律运算满足左右消去律交换群(Abel群)定义:满足交换律的群应用: 后面讲环的时候会用到Abel群,判定一个代数系(R,,◦)是环:(R,)为一个Abel群(R,◦)为一个半群∀a, b, c∈R(a◦b)◦ca◦(b◦c乘法对加法满足左、右分配律∀a, b, c∈Ra◦(bc) (a◦b) (a◦c)(bc)◦a (b◦a) (c◦a)交换群可以衍生出很多好的性质2.群的简单性质群满足消去律练习1答案方法的解释有限群的每个元素的阶不超过该有限群的阶。根据群的阶判断元素的阶练习6注释:根据练习4 5得到阶大于2的元素成对出现则 |G| 2n 2kl1得到l是奇数 、练习六也就是说偶数阶群2n一定存在一个阶为2的元素,也就是说一定存在n阶商群(后面会提到)证明一/二/三/四/五阶群是交换群如何证明 五阶一下的群都是交换群 (利用后面的拉格朗日的定理 干掉前四个)如何证明六阶群中 肯定存在一个三阶子群3.子群 生成子群子群H是G的子群要满足三个条件H元素非空H中对于G中的运算封闭H是G的子集eg:找出3次对称群的所有子群。解.(1){(1),(1,2)}{(1),(1,3)}{(1),(2,3)}{(1),(123),(132)}S3。判断子群的充要条件同理在子环和子域中也有类似的证明定理 设(G1,◦)和(G2,∗)都是群ϕ:G1→G2∀a, b∈G1ϕ(a◦b) ϕ(a)∗ ϕ(b)证明ϕ−1 (e2)为G1的子群其中e2为G2的单位元素。群G的任意多个子群的交还是G的子群任一群不能是其两个真子群的并1. 举例说明两个子群的并可以不是子群。解.S6 {[0],[1],[2],[3],[4],[5]}{[0],[2],[4]}和{[0],[3]}为S6的两个子群但{[0],[2],[4]}∪{[0],[3]}{[0],[2],[3],[4]}不是S6的子群因为[2] [3] [5] ∉{[0],[2],[3],[4]}。2.设G1和G2为群G的两个真子群证明G1∪G2为G的子群的充分必要条件是G1⊆G2或者G2⊆G1。如果G1⊆G2或者G2⊆G1则G1∪G2 G2或G1此时显然G1∪G2为G的子群。 如果G1∪G2为G的子群以下用反证法证明G1⊆G2或者G2⊆G1。假设G1 ⊈G2并且G2 ⊈G1则存在g2∈G2但是g2∉G1同时存在g1∈G1但是g1∉G2。于是G1为G1∪G2的真子集G2为G1∪G2的真子集易得G1和G2为G1∪G2的真子群由于任一群不能是两个真子群的并,矛盾。群G的中心C是G的可交换子群。中心: 群G的元素a称为G的中心元素如果a与G的每个元素可交换即∀x∈G, axxa。G的所有中心元素构成的集合C称为G的中心。不要忘记先证明他是一个群 形式有点像正规子群生成子群设M为G的一个非空子集G的包含M的所有子群的交称为由M生成的子群记为(M)。有一点像细胞分裂推论:有限生成子群仍然是循环群证明(Q, )的每个有限生成子群都是循环群 - 知乎 (zhihu.com)4.变换群 同构同构:设(G1,◦)(G2,∗)为两个群。如果存在一个双射ϕ:G1→G2使得∀a, b∈Gϕ(a◦b) ϕ(a)∗ϕ(b),则称群G1与G2同构记为G1 ≅G2。ϕ称为从G1到G2的一个同构。同构和同态区别和联系:都满足那个等式不同:同态不一定要求是双射变换群对称群:设S为一个非空集合从S到S的所有双射构成的集合对映射的合成构成一个群称为S上的对称群记为Sym(S)。当S{1,2,· · ·, n}时Sym(S) Sn。变换群:Sym(S)的任意一个子群称为S上的一个变换群。Sn的任意一个子群称为一个置换群。定理:任何一个群都同构于某个变换群。Caley定理)推论:任意一个n阶有限群同构于n次对称群Sn的一个n阶子群亦即任意一个有限群同构于某个置换群。练习:证明一个群是一个变换群证明是同构,关键是找到一个映射,先证明是一个映射,再证明是一个满射,再证明符合同构的等式。5.循环群循环群的定义:如果G是由其中的某个元素a生成的即G (a) {· · ·, a−2, a−1, e, a, a2,· · · }整数加法群(Z,)为循环群,其生成元为1。模n同余类加群Zn{[0],[1],· · ·,[n−1]}为一个阶为n的有限循环群,其生成元为[1]。循环群的阶:循环群的同构:无穷循环群同构于整数加群(Z,)即如果不计同构无穷循环群只有一个就是整数加群阶为n的有限循环群同构于模n同余类加群(Zn,)即如果不计同构,n阶循环群只有一个就是模n同余类加群。这个定理告诉我们可以以整数加群和模n同余的整数加群为为媒介,证明两个子群同构example循环群子群的阶:循环群的性质循环群仍然是交换群 原因 循环群中的每一个元素都可以表示成a的多少次方那么a^(ij) a^(ji)显然是一个交换群循环群的子群仍然是循环群循环群的子群仍然是该循环群的正规子群最大公约数d为a和b的最大公约数表示为d(a, b)两个定理设a, b∈Za和b不全为0则∃m, n∈Z使得(a, b) manb。设a, b∈Zb 0aqbr0≤r b则(a, b) (b, r)。example 计算(266,112)并将其表示成m·266 n·112的形式循环群的阶和最大公约数子群的陪集 拉格朗日定理Concept: 群子集的乘法AB{ab|a∈A且b∈B}∀g∈G, A∈2G,{g}A简写为gA即gA{ga|a∈A}。A{g}简写为Ag即Ag{ag|a∈A}。设G为一个群则∀A, B, C∈2G(AB)CA(BC)。Concept:陪集定义和性质定义:设H为群G的一个子群a∈G则集合aH称为子群H的一个左陪集,Ha称为H的一个右陪集。性质:设H为群G的一个子群则∀a∈GaHH的充分必要条件是a∈H。设H为群G的一个子群则∀a, b∈GaHbH的充分必要条件是a ^−1b∈H。子群的不相交性:设H为群G的一个子群则∀a, b∈GaHbH或者aH∩bHφ。等容量性:设H为群G的一个子群则∀a, b∈G|aH||bH|。划分性:设H为群G的一个子群则H的所有左陪集构成的集合为G的一个划分。证明:参见讲义 第二条证明较为麻烦↓ ↓ ↓ ↓拉格朗日定理指数的定义:设H为群G的一个子群如果H的所有不同的左陪集的个数为有限数j则称j为H在G中的指数记为j [G:H]否则称H在G中的指数为无穷大。拉格朗日定理及推论:设G为一个有限群H为G的一个子群则|G||H| ·[G:H]。推论*3:有限群中每个元素的阶都能整除该有限群的阶。如果群的阶是素数,则该群是一个循环群。设G为一个群则∀a∈Ga^|G|e。推论*2:设H为群G的一个子群Sl为H的所有左陪集构成的集合Sr为H的所有右陪集构成的集合则|Sl||Sr|。设p为素数整数a与p互素则a ^p−1≡1 (modp)。备注:【a】p-1 [1]是因为推论3 这个是要证明一个运算在一个群里思考是否可以用群的另外一种判断方法来证明:证明结合律和左右消去律。正规子群 商群有了陪集和群子集乘法的概念,我们引入正规子群和商群。简单复习群运算:其中对于定理三我们比较难理解判断两个子群的乘积是否也是子群正规子群引入:在上一节中我们学习了子群的乘法,但和映射类似,子群的乘法不一定满足交换律,例如正规子群定义:设H为群G的子群如果∀a∈GaH Ha则称H为G的正规子群。正规子群等价命题:证明 3-4相对麻烦商群引入(可以不用看)就是证明代数系统是一个群定义和形式化举例定义:群G的正规子群H的所有左陪集构成的集族,对群子集乘法构成的群称为G对H的商群,记为G/H。商群其实就是上面提到拉格朗日对于G的划分商群是对集族进行运算而不是集合每个商群划分的元素都是互不相交的形式化举例练习:没啥多说的直接看吧同态的基本定理引入同态是为了消弱同构的条件 同态和同构差别就在于是否一定是双射同态不一定是双射单射叫单同态满射叫满同态注意符号怎么写同态定义性质两个定理同态的替身和原同态关系证明方法见笔记同态的核定义同态像就是像集中能够被映射到的元素组成的集合。而同态核就是定义域集合中所有像为幺元的元素组成的集合。同态的核是衡量同态单射的程度。抽象代数学习笔记四 - 知乎 (zhihu.com)特殊的同态核这里需要注意的是先要验证是一个同态 因为只说了 他是一个映射 不一定满足那个同态表达式同态基本定理练习环 体 域有些符号打字太麻烦了 直接看我写的latex定义环体交换环 /域子环/子域判断子环的条件减法 类似于加法的逆子环子体/子域举例:零因子环零因子无零因子环判断无零因子环的充分必要条件(数理逻辑谓词证明方法)判断无零因子环的充分必要条件有限环和体的关系练习做题中遇见的问题和技巧通过结合律和消去律 证明代数系是群 必须是有限群的充要条件群G的中心是G的子群偶数阶群一定至少存在一个阶为2的元素如果一个n阶有限群中有一个元素的阶等于该有限群的阶n,那么这个群是一个循环群如果两个数最大公约数是d,则存在非零整数m,n,使得,manbd同构的两个群阶数相等循环群一定是一个交换群 循环群的子群是原来群的正规子群如果一个群的阶是素数那么这个群一定是循环群(拉格朗日) 进而也是一个交换群特殊的2阶群是循环群也是交换群三阶群是交换群 四阶群也是交换群 证明往上翻H为G的正规子群 ah不一定等于ha ah ah1指数为2的子群是正规子群证明两个集合乘法仍然是原来的子群只需证明AB BA证明G\H是商群的时候一定先说明H是正规子群商群G\H的单位元是H,所有的元素(元素是集合)要么相等要么互不相交证明同态的时候有的时候先要说明是一个映射 就是证明任意的ab f(a)f(b)相同的元素映射到相同的位置同态的核只是相对于满同态来说 他是用来衡量同态映射的单射程度{e}是任何群的正规子群 这在同态的证明和同态核中有一部分的应用证明环是第一个是Abel群 第二个是半群 不要搞混1.证明是商群必须证明是正规子群q:请问不是交换群 可不可以说明他有一个n阶商群 [G:H] n和商群的阶是n是一回事么a:商群必须是正规子群左陪集构成的集族 所以不是一回事2.使用反证法3. 利用分类讨论的思想来做题4.利用找特殊的方法找出一个例子5.利用已知条件进行一个构造的方法关键是在3-2的推导6.这个题虽然也是课后题 了解一下就好 拓展一下思路.类比的思考 比如这个题 解答版能不能把那个定理推广到右陪集8.拉格朗日定理的拓展红笔的原因因为H是是A的子集所以H中元素与A构成的陪集就是A 详见任世军老师的网课9.存在性问题六阶群 一定存在一个三阶子群2n阶交换群一定存在一个n阶商群
近世代数是抽象代数的一个分支,是计算机科学和人工智能大数据的基础.本文内容有点长,大家可以通过index来跳转到想要看的章节,第十章的总结在我的主页里下载1.代数系半群:满足结合律的代数系交换半群:满足交换律的半群群判定方法有两种method1有单位元有逆元运算满足结合律method2运算满足结合律运算满足左右消去律交换群(Abel群)定义:满足交换律的群应用: 后面讲环的时候会用到Abel群,判定一个代数系(R,,◦)是环:(R,)为一个Abel群(R,◦)为一个半群∀a, b, c∈R(a◦b)◦ca◦(b◦c乘法对加法满足左、右分配律∀a, b, c∈Ra◦(bc) (a◦b) (a◦c)(bc)◦a (b◦a) (c◦a)交换群可以衍生出很多好的性质2.群的简单性质群满足消去律练习1答案方法的解释有限群的每个元素的阶不超过该有限群的阶。根据群的阶判断元素的阶练习6注释:根据练习4 5得到阶大于2的元素成对出现则 |G| 2n 2kl1得到l是奇数 、练习六也就是说偶数阶群2n一定存在一个阶为2的元素,也就是说一定存在n阶商群(后面会提到)证明一/二/三/四/五阶群是交换群如何证明 五阶一下的群都是交换群 (利用后面的拉格朗日的定理 干掉前四个)如何证明六阶群中 肯定存在一个三阶子群3.子群 生成子群子群H是G的子群要满足三个条件H元素非空H中对于G中的运算封闭H是G的子集eg:找出3次对称群的所有子群。解.(1){(1),(1,2)}{(1),(1,3)}{(1),(2,3)}{(1),(123),(132)}S3。判断子群的充要条件同理在子环和子域中也有类似的证明定理 设(G1,◦)和(G2,∗)都是群ϕ:G1→G2∀a, b∈G1ϕ(a◦b) ϕ(a)∗ ϕ(b)证明ϕ−1 (e2)为G1的子群其中e2为G2的单位元素。群G的任意多个子群的交还是G的子群任一群不能是其两个真子群的并1. 举例说明两个子群的并可以不是子群。解.S6 {[0],[1],[2],[3],[4],[5]}{[0],[2],[4]}和{[0],[3]}为S6的两个子群但{[0],[2],[4]}∪{[0],[3]}{[0],[2],[3],[4]}不是S6的子群因为[2] [3] [5] ∉{[0],[2],[3],[4]}。2.设G1和G2为群G的两个真子群证明G1∪G2为G的子群的充分必要条件是G1⊆G2或者G2⊆G1。如果G1⊆G2或者G2⊆G1则G1∪G2 G2或G1此时显然G1∪G2为G的子群。 如果G1∪G2为G的子群以下用反证法证明G1⊆G2或者G2⊆G1。假设G1 ⊈G2并且G2 ⊈G1则存在g2∈G2但是g2∉G1同时存在g1∈G1但是g1∉G2。于是G1为G1∪G2的真子集G2为G1∪G2的真子集易得G1和G2为G1∪G2的真子群由于任一群不能是两个真子群的并,矛盾。群G的中心C是G的可交换子群。中心: 群G的元素a称为G的中心元素如果a与G的每个元素可交换即∀x∈G, axxa。G的所有中心元素构成的集合C称为G的中心。不要忘记先证明他是一个群 形式有点像正规子群生成子群设M为G的一个非空子集G的包含M的所有子群的交称为由M生成的子群记为(M)。有一点像细胞分裂推论:有限生成子群仍然是循环群证明(Q, )的每个有限生成子群都是循环群 - 知乎 (zhihu.com)4.变换群 同构同构:设(G1,◦)(G2,∗)为两个群。如果存在一个双射ϕ:G1→G2使得∀a, b∈Gϕ(a◦b) ϕ(a)∗ϕ(b),则称群G1与G2同构记为G1 ≅G2。ϕ称为从G1到G2的一个同构。同构和同态区别和联系:都满足那个等式不同:同态不一定要求是双射变换群对称群:设S为一个非空集合从S到S的所有双射构成的集合对映射的合成构成一个群称为S上的对称群记为Sym(S)。当S{1,2,· · ·, n}时Sym(S) Sn。变换群:Sym(S)的任意一个子群称为S上的一个变换群。Sn的任意一个子群称为一个置换群。定理:任何一个群都同构于某个变换群。Caley定理)推论:任意一个n阶有限群同构于n次对称群Sn的一个n阶子群亦即任意一个有限群同构于某个置换群。练习:证明一个群是一个变换群证明是同构,关键是找到一个映射,先证明是一个映射,再证明是一个满射,再证明符合同构的等式。5.循环群循环群的定义:如果G是由其中的某个元素a生成的即G (a) {· · ·, a−2, a−1, e, a, a2,· · · }整数加法群(Z,)为循环群,其生成元为1。模n同余类加群Zn{[0],[1],· · ·,[n−1]}为一个阶为n的有限循环群,其生成元为[1]。循环群的阶:循环群的同构:无穷循环群同构于整数加群(Z,)即如果不计同构无穷循环群只有一个就是整数加群阶为n的有限循环群同构于模n同余类加群(Zn,)即如果不计同构,n阶循环群只有一个就是模n同余类加群。这个定理告诉我们可以以整数加群和模n同余的整数加群为为媒介,证明两个子群同构example循环群子群的阶:循环群的性质循环群仍然是交换群 原因 循环群中的每一个元素都可以表示成a的多少次方那么a^(ij) a^(ji)显然是一个交换群循环群的子群仍然是循环群循环群的子群仍然是该循环群的正规子群最大公约数d为a和b的最大公约数表示为d(a, b)两个定理设a, b∈Za和b不全为0则∃m, n∈Z使得(a, b) manb。设a, b∈Zb 0aqbr0≤r b则(a, b) (b, r)。example 计算(266,112)并将其表示成m·266 n·112的形式循环群的阶和最大公约数子群的陪集 拉格朗日定理Concept: 群子集的乘法AB{ab|a∈A且b∈B}∀g∈G, A∈2G,{g}A简写为gA即gA{ga|a∈A}。A{g}简写为Ag即Ag{ag|a∈A}。设G为一个群则∀A, B, C∈2G(AB)CA(BC)。Concept:陪集定义和性质定义:设H为群G的一个子群a∈G则集合aH称为子群H的一个左陪集,Ha称为H的一个右陪集。性质:设H为群G的一个子群则∀a∈GaHH的充分必要条件是a∈H。设H为群G的一个子群则∀a, b∈GaHbH的充分必要条件是a ^−1b∈H。子群的不相交性:设H为群G的一个子群则∀a, b∈GaHbH或者aH∩bHφ。等容量性:设H为群G的一个子群则∀a, b∈G|aH||bH|。划分性:设H为群G的一个子群则H的所有左陪集构成的集合为G的一个划分。证明:参见讲义 第二条证明较为麻烦↓ ↓ ↓ ↓拉格朗日定理指数的定义:设H为群G的一个子群如果H的所有不同的左陪集的个数为有限数j则称j为H在G中的指数记为j [G:H]否则称H在G中的指数为无穷大。拉格朗日定理及推论:设G为一个有限群H为G的一个子群则|G||H| ·[G:H]。推论*3:有限群中每个元素的阶都能整除该有限群的阶。如果群的阶是素数,则该群是一个循环群。设G为一个群则∀a∈Ga^|G|e。推论*2:设H为群G的一个子群Sl为H的所有左陪集构成的集合Sr为H的所有右陪集构成的集合则|Sl||Sr|。设p为素数整数a与p互素则a ^p−1≡1 (modp)。备注:【a】p-1 [1]是因为推论3 这个是要证明一个运算在一个群里思考是否可以用群的另外一种判断方法来证明:证明结合律和左右消去律。正规子群 商群有了陪集和群子集乘法的概念,我们引入正规子群和商群。简单复习群运算:其中对于定理三我们比较难理解判断两个子群的乘积是否也是子群正规子群引入:在上一节中我们学习了子群的乘法,但和映射类似,子群的乘法不一定满足交换律,例如正规子群定义:设H为群G的子群如果∀a∈GaH Ha则称H为G的正规子群。正规子群等价命题:证明 3-4相对麻烦商群引入(可以不用看)就是证明代数系统是一个群定义和形式化举例定义:群G的正规子群H的所有左陪集构成的集族,对群子集乘法构成的群称为G对H的商群,记为G/H。商群其实就是上面提到拉格朗日对于G的划分商群是对集族进行运算而不是集合每个商群划分的元素都是互不相交的形式化举例练习:没啥多说的直接看吧同态的基本定理引入同态是为了消弱同构的条件 同态和同构差别就在于是否一定是双射同态不一定是双射单射叫单同态满射叫满同态注意符号怎么写同态定义性质两个定理同态的替身和原同态关系证明方法见笔记同态的核定义同态像就是像集中能够被映射到的元素组成的集合。而同态核就是定义域集合中所有像为幺元的元素组成的集合。同态的核是衡量同态单射的程度。抽象代数学习笔记四 - 知乎 (zhihu.com)特殊的同态核这里需要注意的是先要验证是一个同态 因为只说了 他是一个映射 不一定满足那个同态表达式同态基本定理练习环 体 域有些符号打字太麻烦了 直接看我写的latex定义环体交换环 /域子环/子域判断子环的条件减法 类似于加法的逆子环子体/子域举例:零因子环零因子无零因子环判断无零因子环的充分必要条件(数理逻辑谓词证明方法)判断无零因子环的充分必要条件有限环和体的关系练习做题中遇见的问题和技巧通过结合律和消去律 证明代数系是群 必须是有限群的充要条件群G的中心是G的子群偶数阶群一定至少存在一个阶为2的元素如果一个n阶有限群中有一个元素的阶等于该有限群的阶n,那么这个群是一个循环群如果两个数最大公约数是d,则存在非零整数m,n,使得,manbd同构的两个群阶数相等循环群一定是一个交换群 循环群的子群是原来群的正规子群如果一个群的阶是素数那么这个群一定是循环群(拉格朗日) 进而也是一个交换群特殊的2阶群是循环群也是交换群三阶群是交换群 四阶群也是交换群 证明往上翻H为G的正规子群 ah不一定等于ha ah ah1指数为2的子群是正规子群证明两个集合乘法仍然是原来的子群只需证明AB BA证明G\H是商群的时候一定先说明H是正规子群商群G\H的单位元是H,所有的元素(元素是集合)要么相等要么互不相交证明同态的时候有的时候先要说明是一个映射 就是证明任意的ab f(a)f(b)相同的元素映射到相同的位置同态的核只是相对于满同态来说 他是用来衡量同态映射的单射程度{e}是任何群的正规子群 这在同态的证明和同态核中有一部分的应用证明环是第一个是Abel群 第二个是半群 不要搞混1.证明是商群必须证明是正规子群q:请问不是交换群 可不可以说明他有一个n阶商群 [G:H] n和商群的阶是n是一回事么a:商群必须是正规子群左陪集构成的集族 所以不是一回事2.使用反证法3. 利用分类讨论的思想来做题4.利用找特殊的方法找出一个例子5.利用已知条件进行一个构造的方法关键是在3-2的推导6.这个题虽然也是课后题 了解一下就好 拓展一下思路.类比的思考 比如这个题 解答版能不能把那个定理推广到右陪集8.拉格朗日定理的拓展红笔的原因因为H是是A的子集所以H中元素与A构成的陪集就是A 详见任世军老师的网课9.存在性问题六阶群 一定存在一个三阶子群2n阶交换群一定存在一个n阶商群
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