1. 项目概述为什么隐函数求导是微积分里的“硬骨头”很多同学学到隐函数求导这一块感觉就像突然从平坦大道拐进了崎岖山路。显函数求导比如y x² 3x规则清晰直接套用公式就行。但一碰到像x² y² 1单位圆方程或者e^y x*y sin(x)这类方程y没有单独解出来而是和x混在一起求导的“直接路径”就被堵死了。隐函数求导说白了就是处理这种“纠缠不清”的关系时如何找出y关于x的变化率即导数dy/dx。它的核心价值在于处理现实世界中大量无法或难以显式表达的关系。比如描述一个运动物体轨迹的方程、经济学中相互关联的变量模型或者几何中复杂曲线的切线斜率问题。掌握隐函数求导你手里就多了一把钥匙能打开那些用显函数方法打不开的门。这篇内容我会通过一系列从易到难的典型例题拆解每一步的操作逻辑和背后的原理并分享我在教学和解题中积累的、一般教科书里不会细说的“避坑指南”和心算技巧。无论你是正在备考的大学生还是想巩固基础的研究者这些实实在在的解析过程都能帮你把这块“硬骨头”啃下来。2. 核心思路与操作框架拆解2.1 隐函数求导的基本逻辑对方程两边同时关于x求导隐函数求导的基石是“对方程两边同时关于自变量x求导”。这里最关键的一点是要把y看作是x的函数即y y(x)。因此每当遇到含有y的项时求导就需要用到链式法则。举个例子对于项y²它不是关于x的显式函数但我们可以视其为[y(x)]²。对其求导先对“平方”这个外层函数求导得到2y再乘以内层函数y(x)关于x的导数即dy/dx。所以d/dx (y²) 2y * (dy/dx)。这个dy/dx就是我们最终要求解的对象。整个过程的本质是把一个关于x和y的方程转化成一个关于x、y和dy/dx的新方程然后从中解出dy/dx。2.2 操作流程的标准化四步法为了减少错误我强烈建议遵循以下四个步骤形成肌肉记忆识别与准备确认方程确为隐函数关系y未解出。明确关于哪个变量求导通常是x。逐项求导方程两边同时对x求导。牢记y是x的函数对y的任何运算都要使用链式法则。对x的项按常规求导对y的项求导后必须乘以dy/dx。整理方程将包含dy/dx的项移到等式的一边不包含dy/dx的项移到另一边。求解导数将dy/dx作为公因子提出然后等式两边同时除以它的系数从而得到dy/dx的显式表达式。这个表达式里通常会同时包含x和y。注意最终结果允许同时包含x和y这正是隐函数导数的特点。不需要、也往往不可能将y用x单独表示后再代入。2.3 高阶导数与多元隐函数求导简介有时题目会要求求二阶导数d²y/dx²其基本方法是对已经得到的一阶导数表达式dy/dx g(x, y)的两边再次关于x求导。此时等式右边g(x, y)的求导需要同时考虑x和yy依然是x的函数会用到乘积法则、商法则以及链式法则计算上更繁琐但逻辑一脉相承。对于由方程F(x, y, z) 0确定的二元隐函数z f(x, y)求偏导数如∂z/∂x则需将y视为常数对方程两边求x的偏导此时将z视为x和y的函数用到的是多元函数的链式法则。这是隐函数求导思想在更高维度的自然推广。3. 基础入门例题精讲与步骤拆解3.1 例题一圆方程切线斜率题目求由方程x² y² 25所确定的隐函数y关于x的导数dy/dx并求在点(3, 4)处的导数值。解析与步骤对方程两边关于x求导左边d/dx (x²) d/dx (y²) 2x 2y * (dy/dx)。这里y²的求导是核心先对平方求导得2y再乘以y对x的导数dy/dx。右边d/dx (25) 0。得到新方程2x 2y * (dy/dx) 0。解出dy/dx将含dy/dx的项单独留在一边2y * (dy/dx) -2x。两边同时除以2y注意y ≠ 0dy/dx -x / y。计算特定点导数值将点(3, 4)的坐标x3,y4代入导数表达式dy/dx -3 / 4。几何意义这个结果表示在圆x²y²25上的点(3,4)处切线的斜率为-3/4。这完全符合我们的几何直观圆心到(3,4)的半径斜率为4/3切线垂直于半径斜率应为负倒数-3/4。实操心得对于y²、sin(y)、e^y这类形式求导时心里默念“先对外层函数求导再乘上dy/dx”。这是隐函数求导最需要内化的思维习惯。3.2 例题二涉及乘积与三角函数的隐函数题目求由方程y*cos(x) x² y²确定的隐函数的导数dy/dx。解析与步骤对方程两边关于x求导左边y*cos(x)是y和cos(x)的乘积需用乘积法则[d(y)/dx]*cos(x) y*[d(cos(x))/dx] (dy/dx)*cos(x) y*(-sin(x))。右边d/dx (x²) d/dx (y²) 2x 2y*(dy/dx)。得到方程(dy/dx)*cos(x) - y*sin(x) 2x 2y*(dy/dx)。整理并解出dy/dx将所有含dy/dx的项移到等式左边其他项移到右边(dy/dx)*cos(x) - 2y*(dy/dx) 2x y*sin(x)提取公因子dy/dxdy/dx * (cos(x) - 2y) 2x y*sin(x)两边同时除以(cos(x) - 2y)dy/dx (2x y*sin(x)) / (cos(x) - 2y)关键点剖析本题融合了乘积法则和链式法则。左边y*cos(x)的求导是易错点必须牢记y是函数其导数为dy/dx。右边y²的求导则是基础链式法则的应用。整理方程时耐心地将dy/dx项合并是得到正确表达式的关键。4. 进阶综合例题解析与技巧深化4.1 例题三指数与对数混合型题目已知e^(xy) x*y求dy/dx。解析与步骤对方程两边关于x求导左边e^(xy)这是一个复合函数外层是指数函数内层是(xy)。应用链式法则d/dx [e^(xy)] e^(xy) * d/dx (xy)。d/dx (xy) 1 dy/dx。因为x的导数是1y的导数是dy/dx。所以左边求导结果为e^(xy) * (1 dy/dx)。右边x*y应用乘积法则d/dx (x*y) 1*y x*(dy/dx) y x*(dy/dx)。得到方程e^(xy) * (1 dy/dx) y x*(dy/dx)。展开、整理并求解展开左边e^(xy) e^(xy) * dy/dx y x * dy/dx。将含dy/dx的项移到同侧e^(xy) * dy/dx - x * dy/dx y - e^(xy)。提取公因子dy/dxdy/dx * (e^(xy) - x) y - e^(xy)。最终解得dy/dx (y - e^(xy)) / (e^(xy) - x)。技巧提示对于e^(xy)这种内外都是复合结构的情况可以分两步看第一步指数函数求导还是它本身第二步乘以指数的导数(xy)。这个过程要稳避免漏掉dy/dx。4.2 例题四利用对数求导法简化计算题目求由方程y x^(sin x)x 0所确定的函数的导数。这虽然是显函数但直接求导极复杂常借助隐函数求导思想对数求导法解决。解析与步骤对数求导法等式两边取自然对数ln y ln (x^(sin x)) sin x * ln x。这一步将幂指函数转化为乘积形式是简化的关键。两边对x求导现在方程是ln y sin x * ln xy是隐函数左边d/dx (ln y) (1/y) * (dy/dx)。右边乘积sin x * ln x的导数(cos x)*ln x (sin x)*(1/x)。得到方程(1/y) * (dy/dx) cos x * ln x (sin x)/x。解出dy/dx两边同时乘以ydy/dx y * [cos x * ln x (sin x)/x]。将原函数y x^(sin x)代回dy/dx x^(sin x) * [cos x * ln x (sin x)/x]。方法优势对数求导法特别适用于幂指函数[u(x)]^(v(x))或多个因式连乘、连除、开方的复杂函数求导。其核心是利用对数运算化乘为加、化幂为乘的性质将求导难度大大降低。5. 高阶导数与复杂变形问题实战5.1 例题五求解二阶导数题目已知x² - y² 1求d²y/dx²。解析与步骤求一阶导数dy/dx两边对x求导2x - 2y*(dy/dx) 0dy/dx x / y。对一阶导数表达式两边再关于x求导以得到二阶导数左边是d/dx (dy/dx)即d²y/dx²。右边x/y是一个商应用商法则d/dx (x/y) [1*y - x*(dy/dx)] / y²。将第一步得到的一阶导数dy/dx x/y代入上式d²y/dx² [y - x*(x/y)] / y² [y - (x²/y)] / y²。化简表达式为了得到更简洁的形式通常利用原始方程进行化简。由x² - y² 1可得x² y² 1。将分子通分[ (y²/y) - (x²/y) ] / y² [ (y² - x²) / y ] / y² (y² - x²) / y³。因为y² - x² - (x² - y²) -1所以最终d²y/dx² -1 / y³。难点与技巧求二阶导的关键在于对一阶导表达式求导时只要遇到y就必须将其视为x的函数并链式地产生dy/dx。最后利用原始方程化简可以让结果变得非常简洁这也是题目常见的考查点。5.2 例题六涉及抽象函数与具体点求值题目设函数y y(x)由方程y 1 - x * e^y确定求dy/dx及y‘(0)。解析与步骤求导并解出dy/dx方程两边对x求导dy/dx 0 - [1 * e^y x * e^y * (dy/dx)]。这里-x*e^y的求导用了乘积法则和链式法则。化简dy/dx -e^y - x * e^y * (dy/dx)。将所有dy/dx项移到一边dy/dx x * e^y * (dy/dx) -e^y。提取dy/dxdy/dx * (1 x * e^y) -e^y。解得dy/dx -e^y / (1 x * e^y)。求y(0)首先需要知道当x0时对应的y值。将x0代入原方程y 1 - 0 * e^y 1。所以点(0, 1)在曲线上。将x0,y1代入导数表达式y(0) -e^1 / (1 0 * e^1) -e。常见错误警示很多同学会直接对表达式dy/dx -e^y / (1 x * e^y)代入x0得到-e^y / 1然后就卡住了因为他们忘了y在x0时也是一个具体的数值必须通过原方程先解出来。“求某点导数先找该点坐标”这是必须养成的习惯。6. 常见错误排查与独家避坑指南在隐函数求导的练习和考试中以下几个错误出现频率极高。我把它们总结出来并给出应对策略。6.1 错误类型一链式法则遗漏dy/dx错误示例对sin(y)求导写成cos(y)。正确做法应为cos(y) * (dy/dx)。避坑技巧每当你对含有y的表达式求导后立刻自问“我乘上dy/dx了吗” 可以把它变成一个条件反射式的检查动作。6.2 错误类型二整理方程时符号错误或漏项错误示例从2x 2y*y‘ 0整理时错误地写成2y*y’ 2x。正确做法应移项为2y*y‘ -2x。避坑技巧进行移项操作时建议用笔在纸上清晰地划出要移动的项并在移动后立即检查其符号是否改变。对于项数较多的方程可以先将所有含y‘的项写到等式左边不含的写到右边然后再进行合并。6.3 错误类型三求解特定点导数时未先求出该点的y值正如例题六所示这是非常经典的错误。导数表达式dy/dx f(x, y)同时依赖于x和y。给出xx0必须利用原始方程F(x0, y)0解出对应的y0有时可能有多解需根据题意选择再将(x0, y0)一起代入。标准流程1) 求导得y’ g(x, y)2) 由x0代入原方程求y03) 将(x0, y0)代入g(x, y)求值。6.4 错误类型四对常数和x的函数处理不当牢记对方程两边求导时常数项导数为0仅关于x的显函数如x²,sin(x)按常规求导即可只有遇到y时才需要引入dy/dx。一个快速检查方法是看看这项如果代入一个具体的y值它是否还是一个随x变化的量如果是那它对x求导就可能不为零且通常需要链式法则。6.5 高阶导数计算中的代数化简求二阶导时得到的结果d²y/dx² h(x, y, dy/dx)往往看起来很复杂。此时一定要尝试利用一阶导数的表达式dy/dx g(x, y)和原始方程F(x, y)0进行代入化简。化简的目标是消去dy/dx让二阶导的表达式只包含x和y甚至可能像例题五那样得到一个非常简洁的结果。这不仅是美观问题也常常是题目隐含的考查点。隐函数求导的熟练度完全建立在清晰的求导法则理解和大量有意识的练习之上。建议从最简单的圆、椭圆方程开始逐步增加乘积、商、指数、对数等复杂度并养成“一步一检查”的习惯尤其是链式法则和移项符号。当你能够流畅地处理本文中所有例题时这块“硬骨头”就已经被你啃下大半了。剩下的就是在更复杂的综合题中应用这些基本功你会发现很多难题不过是这些基础步骤的排列组合。
1. 项目概述为什么隐函数求导是微积分里的“硬骨头”很多同学学到隐函数求导这一块感觉就像突然从平坦大道拐进了崎岖山路。显函数求导比如y x² 3x规则清晰直接套用公式就行。但一碰到像x² y² 1单位圆方程或者e^y x*y sin(x)这类方程y没有单独解出来而是和x混在一起求导的“直接路径”就被堵死了。隐函数求导说白了就是处理这种“纠缠不清”的关系时如何找出y关于x的变化率即导数dy/dx。它的核心价值在于处理现实世界中大量无法或难以显式表达的关系。比如描述一个运动物体轨迹的方程、经济学中相互关联的变量模型或者几何中复杂曲线的切线斜率问题。掌握隐函数求导你手里就多了一把钥匙能打开那些用显函数方法打不开的门。这篇内容我会通过一系列从易到难的典型例题拆解每一步的操作逻辑和背后的原理并分享我在教学和解题中积累的、一般教科书里不会细说的“避坑指南”和心算技巧。无论你是正在备考的大学生还是想巩固基础的研究者这些实实在在的解析过程都能帮你把这块“硬骨头”啃下来。2. 核心思路与操作框架拆解2.1 隐函数求导的基本逻辑对方程两边同时关于x求导隐函数求导的基石是“对方程两边同时关于自变量x求导”。这里最关键的一点是要把y看作是x的函数即y y(x)。因此每当遇到含有y的项时求导就需要用到链式法则。举个例子对于项y²它不是关于x的显式函数但我们可以视其为[y(x)]²。对其求导先对“平方”这个外层函数求导得到2y再乘以内层函数y(x)关于x的导数即dy/dx。所以d/dx (y²) 2y * (dy/dx)。这个dy/dx就是我们最终要求解的对象。整个过程的本质是把一个关于x和y的方程转化成一个关于x、y和dy/dx的新方程然后从中解出dy/dx。2.2 操作流程的标准化四步法为了减少错误我强烈建议遵循以下四个步骤形成肌肉记忆识别与准备确认方程确为隐函数关系y未解出。明确关于哪个变量求导通常是x。逐项求导方程两边同时对x求导。牢记y是x的函数对y的任何运算都要使用链式法则。对x的项按常规求导对y的项求导后必须乘以dy/dx。整理方程将包含dy/dx的项移到等式的一边不包含dy/dx的项移到另一边。求解导数将dy/dx作为公因子提出然后等式两边同时除以它的系数从而得到dy/dx的显式表达式。这个表达式里通常会同时包含x和y。注意最终结果允许同时包含x和y这正是隐函数导数的特点。不需要、也往往不可能将y用x单独表示后再代入。2.3 高阶导数与多元隐函数求导简介有时题目会要求求二阶导数d²y/dx²其基本方法是对已经得到的一阶导数表达式dy/dx g(x, y)的两边再次关于x求导。此时等式右边g(x, y)的求导需要同时考虑x和yy依然是x的函数会用到乘积法则、商法则以及链式法则计算上更繁琐但逻辑一脉相承。对于由方程F(x, y, z) 0确定的二元隐函数z f(x, y)求偏导数如∂z/∂x则需将y视为常数对方程两边求x的偏导此时将z视为x和y的函数用到的是多元函数的链式法则。这是隐函数求导思想在更高维度的自然推广。3. 基础入门例题精讲与步骤拆解3.1 例题一圆方程切线斜率题目求由方程x² y² 25所确定的隐函数y关于x的导数dy/dx并求在点(3, 4)处的导数值。解析与步骤对方程两边关于x求导左边d/dx (x²) d/dx (y²) 2x 2y * (dy/dx)。这里y²的求导是核心先对平方求导得2y再乘以y对x的导数dy/dx。右边d/dx (25) 0。得到新方程2x 2y * (dy/dx) 0。解出dy/dx将含dy/dx的项单独留在一边2y * (dy/dx) -2x。两边同时除以2y注意y ≠ 0dy/dx -x / y。计算特定点导数值将点(3, 4)的坐标x3,y4代入导数表达式dy/dx -3 / 4。几何意义这个结果表示在圆x²y²25上的点(3,4)处切线的斜率为-3/4。这完全符合我们的几何直观圆心到(3,4)的半径斜率为4/3切线垂直于半径斜率应为负倒数-3/4。实操心得对于y²、sin(y)、e^y这类形式求导时心里默念“先对外层函数求导再乘上dy/dx”。这是隐函数求导最需要内化的思维习惯。3.2 例题二涉及乘积与三角函数的隐函数题目求由方程y*cos(x) x² y²确定的隐函数的导数dy/dx。解析与步骤对方程两边关于x求导左边y*cos(x)是y和cos(x)的乘积需用乘积法则[d(y)/dx]*cos(x) y*[d(cos(x))/dx] (dy/dx)*cos(x) y*(-sin(x))。右边d/dx (x²) d/dx (y²) 2x 2y*(dy/dx)。得到方程(dy/dx)*cos(x) - y*sin(x) 2x 2y*(dy/dx)。整理并解出dy/dx将所有含dy/dx的项移到等式左边其他项移到右边(dy/dx)*cos(x) - 2y*(dy/dx) 2x y*sin(x)提取公因子dy/dxdy/dx * (cos(x) - 2y) 2x y*sin(x)两边同时除以(cos(x) - 2y)dy/dx (2x y*sin(x)) / (cos(x) - 2y)关键点剖析本题融合了乘积法则和链式法则。左边y*cos(x)的求导是易错点必须牢记y是函数其导数为dy/dx。右边y²的求导则是基础链式法则的应用。整理方程时耐心地将dy/dx项合并是得到正确表达式的关键。4. 进阶综合例题解析与技巧深化4.1 例题三指数与对数混合型题目已知e^(xy) x*y求dy/dx。解析与步骤对方程两边关于x求导左边e^(xy)这是一个复合函数外层是指数函数内层是(xy)。应用链式法则d/dx [e^(xy)] e^(xy) * d/dx (xy)。d/dx (xy) 1 dy/dx。因为x的导数是1y的导数是dy/dx。所以左边求导结果为e^(xy) * (1 dy/dx)。右边x*y应用乘积法则d/dx (x*y) 1*y x*(dy/dx) y x*(dy/dx)。得到方程e^(xy) * (1 dy/dx) y x*(dy/dx)。展开、整理并求解展开左边e^(xy) e^(xy) * dy/dx y x * dy/dx。将含dy/dx的项移到同侧e^(xy) * dy/dx - x * dy/dx y - e^(xy)。提取公因子dy/dxdy/dx * (e^(xy) - x) y - e^(xy)。最终解得dy/dx (y - e^(xy)) / (e^(xy) - x)。技巧提示对于e^(xy)这种内外都是复合结构的情况可以分两步看第一步指数函数求导还是它本身第二步乘以指数的导数(xy)。这个过程要稳避免漏掉dy/dx。4.2 例题四利用对数求导法简化计算题目求由方程y x^(sin x)x 0所确定的函数的导数。这虽然是显函数但直接求导极复杂常借助隐函数求导思想对数求导法解决。解析与步骤对数求导法等式两边取自然对数ln y ln (x^(sin x)) sin x * ln x。这一步将幂指函数转化为乘积形式是简化的关键。两边对x求导现在方程是ln y sin x * ln xy是隐函数左边d/dx (ln y) (1/y) * (dy/dx)。右边乘积sin x * ln x的导数(cos x)*ln x (sin x)*(1/x)。得到方程(1/y) * (dy/dx) cos x * ln x (sin x)/x。解出dy/dx两边同时乘以ydy/dx y * [cos x * ln x (sin x)/x]。将原函数y x^(sin x)代回dy/dx x^(sin x) * [cos x * ln x (sin x)/x]。方法优势对数求导法特别适用于幂指函数[u(x)]^(v(x))或多个因式连乘、连除、开方的复杂函数求导。其核心是利用对数运算化乘为加、化幂为乘的性质将求导难度大大降低。5. 高阶导数与复杂变形问题实战5.1 例题五求解二阶导数题目已知x² - y² 1求d²y/dx²。解析与步骤求一阶导数dy/dx两边对x求导2x - 2y*(dy/dx) 0dy/dx x / y。对一阶导数表达式两边再关于x求导以得到二阶导数左边是d/dx (dy/dx)即d²y/dx²。右边x/y是一个商应用商法则d/dx (x/y) [1*y - x*(dy/dx)] / y²。将第一步得到的一阶导数dy/dx x/y代入上式d²y/dx² [y - x*(x/y)] / y² [y - (x²/y)] / y²。化简表达式为了得到更简洁的形式通常利用原始方程进行化简。由x² - y² 1可得x² y² 1。将分子通分[ (y²/y) - (x²/y) ] / y² [ (y² - x²) / y ] / y² (y² - x²) / y³。因为y² - x² - (x² - y²) -1所以最终d²y/dx² -1 / y³。难点与技巧求二阶导的关键在于对一阶导表达式求导时只要遇到y就必须将其视为x的函数并链式地产生dy/dx。最后利用原始方程化简可以让结果变得非常简洁这也是题目常见的考查点。5.2 例题六涉及抽象函数与具体点求值题目设函数y y(x)由方程y 1 - x * e^y确定求dy/dx及y‘(0)。解析与步骤求导并解出dy/dx方程两边对x求导dy/dx 0 - [1 * e^y x * e^y * (dy/dx)]。这里-x*e^y的求导用了乘积法则和链式法则。化简dy/dx -e^y - x * e^y * (dy/dx)。将所有dy/dx项移到一边dy/dx x * e^y * (dy/dx) -e^y。提取dy/dxdy/dx * (1 x * e^y) -e^y。解得dy/dx -e^y / (1 x * e^y)。求y(0)首先需要知道当x0时对应的y值。将x0代入原方程y 1 - 0 * e^y 1。所以点(0, 1)在曲线上。将x0,y1代入导数表达式y(0) -e^1 / (1 0 * e^1) -e。常见错误警示很多同学会直接对表达式dy/dx -e^y / (1 x * e^y)代入x0得到-e^y / 1然后就卡住了因为他们忘了y在x0时也是一个具体的数值必须通过原方程先解出来。“求某点导数先找该点坐标”这是必须养成的习惯。6. 常见错误排查与独家避坑指南在隐函数求导的练习和考试中以下几个错误出现频率极高。我把它们总结出来并给出应对策略。6.1 错误类型一链式法则遗漏dy/dx错误示例对sin(y)求导写成cos(y)。正确做法应为cos(y) * (dy/dx)。避坑技巧每当你对含有y的表达式求导后立刻自问“我乘上dy/dx了吗” 可以把它变成一个条件反射式的检查动作。6.2 错误类型二整理方程时符号错误或漏项错误示例从2x 2y*y‘ 0整理时错误地写成2y*y’ 2x。正确做法应移项为2y*y‘ -2x。避坑技巧进行移项操作时建议用笔在纸上清晰地划出要移动的项并在移动后立即检查其符号是否改变。对于项数较多的方程可以先将所有含y‘的项写到等式左边不含的写到右边然后再进行合并。6.3 错误类型三求解特定点导数时未先求出该点的y值正如例题六所示这是非常经典的错误。导数表达式dy/dx f(x, y)同时依赖于x和y。给出xx0必须利用原始方程F(x0, y)0解出对应的y0有时可能有多解需根据题意选择再将(x0, y0)一起代入。标准流程1) 求导得y’ g(x, y)2) 由x0代入原方程求y03) 将(x0, y0)代入g(x, y)求值。6.4 错误类型四对常数和x的函数处理不当牢记对方程两边求导时常数项导数为0仅关于x的显函数如x²,sin(x)按常规求导即可只有遇到y时才需要引入dy/dx。一个快速检查方法是看看这项如果代入一个具体的y值它是否还是一个随x变化的量如果是那它对x求导就可能不为零且通常需要链式法则。6.5 高阶导数计算中的代数化简求二阶导时得到的结果d²y/dx² h(x, y, dy/dx)往往看起来很复杂。此时一定要尝试利用一阶导数的表达式dy/dx g(x, y)和原始方程F(x, y)0进行代入化简。化简的目标是消去dy/dx让二阶导的表达式只包含x和y甚至可能像例题五那样得到一个非常简洁的结果。这不仅是美观问题也常常是题目隐含的考查点。隐函数求导的熟练度完全建立在清晰的求导法则理解和大量有意识的练习之上。建议从最简单的圆、椭圆方程开始逐步增加乘积、商、指数、对数等复杂度并养成“一步一检查”的习惯尤其是链式法则和移项符号。当你能够流畅地处理本文中所有例题时这块“硬骨头”就已经被你啃下大半了。剩下的就是在更复杂的综合题中应用这些基本功你会发现很多难题不过是这些基础步骤的排列组合。
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